А)cos(П/2+2х) = корень из 2sinx б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-5П;...

Рассмотрим уравнение: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \sqrt{2} \sin x. ]

Шаг 1: Преобразование левой части уравнения

Используем тригонометрическую формулу для косинуса суммы: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta. ] Здесь (\theta = 2x), поэтому: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\sin(2x). ]

Таким образом, уравнение преобразуется в: [ -\sin(2x) = \sqrt{2} \sin x. ]

Шаг 2: Преобразование уравнения

Перенесём все члены на одну сторону: [ -\sin(2x) - \sqrt{2} \sin x = 0. ]

Используем формулу синуса двойного угла: [ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x. ]

Тогда уравнение примет вид: [ -2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0. ]

Вынесем (\sin x) за скобки: [ \sin x (-2 \cos x - \sqrt{2}) = 0. ]

Шаг 3: Решение уравнения

Поскольку произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, рассмотрим два случая:

1. (\sin x = 0)
2. (-2 \cos x - \sqrt{2} = 0)

Случай 1: (\sin x = 0)

(\sin x = 0) при (x = k\pi), где (k \in \mathbb{Z}).

Случай 2: (-2 \cos x - \sqrt{2} = 0)

Рассмотрим уравнение: [ -2 \cos x = \sqrt{2} ] [ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}. ]

(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) при (x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi), где (k \in \mathbb{Z}).

Шаг 4: Нахождение корней в заданном промежутке

Теперь найдём все корни в промежутке ((-5\pi, -4\pi)).

Для (\sin x = 0):

[ x = k\pi ] Проверяем значения (k), чтобы (k\pi) попадало в промежуток ((-5\pi, -4\pi)): [ -5\pi < k\pi < -4\pi ] [ -5 < k < -4 ]

Единственное целое значение (k) в этом промежутке — это (k = -4).

Тогда: [ x = -4\pi ]

Для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}):

[ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

1. ( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ) Проверяем значения (k), чтобы (x) попадало в промежуток ((-5\pi, -4\pi)): [ -5\pi < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < -4\pi ] [ -\frac{23}{8} < k < -\frac{19}{8} ]

   Единственное целое значение (k) в этом промежутке — это (k = -3).

   Тогда: [ x = \frac{3\pi}{4} + 2(-3)\pi = \frac{3\pi}{4} - 6\pi = -\frac{21\pi}{4} ]

2. ( x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi ) Проверяем значения (k), чтобы (x) попадало в промежуток ((-5\pi, -4\pi)): [ -5\pi < -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < -4\pi ] [ -\frac{37}{8} < k < -\frac{33}{8} ]

   Единственное целое значение (k) в этом промежутке — это (k = -4).

   Тогда: [ x = -\frac{3\pi}{4} + 2(-4)\pi = -\frac{3\pi}{4} - 8\pi = -\frac{35\pi}{4} ]

Итоговые корни

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие промежутку ((-5\pi, -4\pi)), следующие: [ x = -4\pi, \quad x = -\frac{21\pi}{4}, \quad x = -\frac{35\pi}{4}. ]

Для начала перепишем уравнение в виде cos(π/2 + 2x) = √2sinx в более удобной форме.

Используем формулы приведения для синуса и косинуса: cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ sin(α) = cos(π/2 - α)

Тогда наше уравнение примет вид: cos(π/2)cos(2x) - sin(π/2)sin(2x) = √2sinx 0cos(2x) - 1sin(2x) = √2sinx -sin(2x) = √2sinx -2sinxcosx = √2sinx -2cosx = √2 cosx = -√2/2

Теперь найдем все корни уравнения cosx = -√2/2 в пределах от -5π до -4π. Так как cos(3π/4) = -√2/2, то x = 3π/4 будет одним из корней уравнения на заданном промежутке.

Таким образом, единственным корнем уравнения cos(π/2 + 2x) = √2sinx на интервале (-5π; -4π) является x = 3π/4.