А) y = 3e^x - sin 2x б) y = корень из x * e^2-x (не под корнем) в) y = 2^5x найти производную этих функций
А) y = 3e^x - sin 2x б) y = корень из x * e^2-x (не под корнем) в) y = 2^5x найти производную этих функций
А) y' = 3e^x - 2cos(2x) б) y' = (1/2) e^(2-x) (2-x - 1) в) y' = 5 2^5x ln(2)
А) Для нахождения производной функции y = 3e^x - sin 2x нужно воспользоваться правилами дифференцирования. Производная экспоненциальной функции e^x равна самой функции: (e^x)' = e^x. Производная синуса sin 2x равна косинусу: (sin 2x)' = 2cos 2x. Таким образом, производная функции y = 3e^x - sin 2x будет равна y' = 3e^x - 2cos 2x.
Б) Для нахождения производной функции y = корень из x e^(2-x) нужно воспользоваться правилом произведения. Производная корня из x равна 1/(2√x): (корень из x)' = 1/(2√x). Производная экспоненциальной функции e^(2-x) равна самой функции с отрицательным знаком: (e^(2-x))' = -e^(2-x). Таким образом, производная функции y = корень из x e^(2-x) будет равна y' = 1/(2√x) e^(2-x) - √x e^(2-x).
В) Для нахождения производной функции y = 2^(5x) нужно воспользоваться правилом дифференцирования для степенной функции. Производная степенной функции a^x равна a^x ln(a): (a^x)' = a^x ln(a). Таким образом, производная функции y = 2^(5x) будет равна y' = 2^(5x) ln(2) = 5 2^(5x) * ln(2).
Для решения данного задания необходимо найти производные следующих функций:
А) ( y = 3e^x - \sin(2x) )
Для нахождения производной этой функции, применим правило производной суммы и разности, а также формулы производных для экспоненциальной функции и тригонометрической функции: [ y' = (3e^x)' - (\sin(2x))' ] [ y' = 3(e^x)' - (\sin(2x))' ] [ y' = 3e^x - 2\cos(2x) ] Здесь мы использовали, что производная (e^x) есть (e^x), а производная (\sin(2x)) по цепному правилу равна (\cos(2x)) умноженному на производную внутренней функции (2x), то есть (2).
Б) ( y = \sqrt{x} \cdot e^{2-x} )
Производная произведения определяется по формуле ( (uv)' = u'v + uv' ), где ( u = \sqrt{x} ) и ( v = e^{2-x} ). [ y' = (\sqrt{x})' \cdot e^{2-x} + \sqrt{x} \cdot (e^{2-x})' ] [ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{2-x} + \sqrt{x} \cdot e^{2-x} \cdot (-1) ] [ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{2-x} - \sqrt{x} \cdot e^{2-x} ]
В) ( y = 2^{5x} )
В этом случае используем формулу для производной экспоненты с переменной степенью: [ y' = (a^{f(x)})' = f'(x) \cdot a^{f(x)} \cdot \ln(a) ] Здесь ( a = 2 ) и ( f(x) = 5x ), так что: [ y' = (5x)' \cdot 2^{5x} \cdot \ln(2) ] [ y' = 5 \cdot 2^{5x} \cdot \ln(2) ]
Таким образом, производные для данных функций:
