А) 4^cosx+4^-cosx=5/2 б)[-3П;-3П/2]

A) x = -3π/2

Рассмотрим уравнение (4^{\cos x} + 4^{-\cos x} = \frac{5}{2}).

Для начала упростим выражение. Обозначим (t = 4^{\cos x}). Тогда (4^{-\cos x} = \frac{1}{4^{\cos x}} = \frac{1}{t}).

Подставим эти обозначения в уравнение:

[ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} ]

Умножим обе части уравнения на (t) для устранения дроби:

[ t^2 + 1 = \frac{5}{2}t ]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ 2t^2 - 5t + 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

Здесь (a = 2), (b = -5), (c = 2):

[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4} ]

Получаем два корня:

[ t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 ] [ t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} ]

Таким образом, у нас есть два значения для (t):

[ t = 2 ] [ t = \frac{1}{2} ]

Так как (t = 4^{\cos x}), это означает, что:

1. (4^{\cos x} = 2)
2. (4^{\cos x} = \frac{1}{2})

Рассмотрим первое уравнение:

[ 4^{\cos x} = 2 ]

Запишем 2 как степень числа 4:

[ 4^{\cos x} = 4^{1/2} ]

Отсюда:

[ \cos x = \frac{1}{2} ]

Рассмотрим решение для (\cos x = \frac{1}{2}) на отрезке ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]):

[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} ]

Теперь найдем все значения (x) на указанном отрезке:

Для (x = \frac{\pi}{3}):

[ x = -3\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} ]

Для (x = -\frac{\pi}{3}):

[ x = -3\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3} ]

Проверим, какие из этих значений попадают на отрезок ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]):

[ -3\pi \leq -\frac{8\pi}{3} \leq -\frac{3\pi}{2} \implies -\frac{8\pi}{3} \text{ не попадает в отрезок} ] [ -3\pi \leq -\frac{10\pi}{3} \leq -\frac{3\pi}{2} \implies -\frac{10\pi}{3} \text{ не попадает в отрезок} ]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ 4^{\cos x} = \frac{1}{2} ]

Запишем (\frac{1}{2}) как степень числа 4:

[ 4^{\cos x} = 4^{-1/2} ]

Отсюда:

[ \cos x = -\frac{1}{2} ]

Рассмотрим решение для (\cos x = -\frac{1}{2}) на отрезке ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]):

[ \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \text{ где } k \in \mathbb{Z} ]

Теперь найдем все значения (x) на указанном отрезке:

Для (x = \frac{2\pi}{3}):

[ x = -3\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} ]

Для (x = -\frac{2\pi}{3}):

[ x = -3\pi - \frac{2\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} ]

Проверим, какие из этих значений попадают на отрезок ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]):

[ -3\pi \leq -\frac{7\pi}{3} \leq -\frac{3\pi}{2} \implies -\frac{7\pi}{3} \text{ попадает в отрезок} ] [ -3\pi \leq -\frac{11\pi}{3} \leq -\frac{3\pi}{2} \implies -\frac{11\pi}{3} \text{ не попадает в отрезок} ]

Таким образом, единственным решением на отрезке ([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]) является:

[ x = -\frac{7\pi}{3} ]

Для решения уравнения 4^cosx + 4^(-cosx) = 5/2 воспользуемся тем, что a^x + a^(-x) = 2 cosh(ln|a| x), где a > 0, a ≠ 1.

Таким образом, исходное уравнение примет вид 2 cosh(ln4 cosx) = 5/2.

Далее, решим уравнение cosh(y) = 5/4, где y = ln4 * cosx.

Из определения гиперболического косинуса следует, что cosh(y) = (e^y + e^(-y))/2.

Подставляем значения и получаем (e^y + e^(-y))/2 = 5/4.

Умножаем обе части уравнения на 4 и получаем e^y + e^(-y) = 5/2.

Теперь решаем квадратное уравнение e^(2y) - (5/2)e^y + 1 = 0.

Получаем e^y = 1 или e^y = 1/2.

Следовательно, y = 0 или y = ln(1/2).

Так как y = ln4 * cosx, то мы имеем два случая:

1) ln4 * cosx = 0 => cosx = 0 => x = π/2 + πn, где n - целое число.

2) ln4 * cosx = ln(1/2) => cosx = -1/2 => x = 2π/3 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решениями исходного уравнения на интервале [-3π; -3π/2] являются x = π/2.