(7^х+1)+(3*7^х)=(2^х+5)+(3*2^х)

Рассмотрим уравнение:

[ (7^x + 1) + (3 \cdot 7^x) = (2^x + 5) + (3 \cdot 2^x) ]

Для начала упростим выражение с обеих сторон уравнения. Сгруппируем степени и константы:

[ 7^x + 3 \cdot 7^x + 1 = 2^x + 3 \cdot 2^x + 5 ]

Слева:

[ 7^x + 3 \cdot 7^x = 4 \cdot 7^x ]

Получаем:

[ 4 \cdot 7^x + 1 = 2^x + 3 \cdot 2^x + 5 ]

Справа:

[ 2^x + 3 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x ]

Получаем:

[ 4 \cdot 7^x + 1 = 4 \cdot 2^x + 5 ]

Теперь вычтем 1 с обеих сторон, чтобы упростить уравнение:

[ 4 \cdot 7^x = 4 \cdot 2^x + 4 ]

Разделим обе стороны уравнения на 4:

[ 7^x = 2^x + 1 ]

Рассмотрим функцию (f(x) = 7^x - 2^x - 1) и найдем её корни. Очевидно, что (x = 0) является решением, поскольку:

[ 7^0 - 2^0 - 1 = 1 - 1 - 1 = 0 ]

Проверим, есть ли другие решения. Рассмотрим производную функции (f(x)):

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(7^x - 2^x - 1) = 7^x \ln 7 - 2^x \ln 2 ]

Производная функции (f(x)) показывает, как функция изменяется. Для больших значений (x), (7^x \ln 7) будет расти намного быстрее, чем (2^x \ln 2). Следовательно, (f'(x) > 0) для всех (x > 0), и (f(x)) является возрастающей функцией. Так как (f(x)) возрастает и пересекает ось (x) только в точке (x = 0), других корней у (f(x)) нет.

Итак, единственное решение уравнения:

[ x = 0 ]

Проверим это решение:

Подставим (x = 0) в исходное уравнение:

[ (7^0 + 1) + (3 \cdot 7^0) = (2^0 + 5) + (3 \cdot 2^0) ]

[ (1 + 1) + (3 \cdot 1) = (1 + 5) + (3 \cdot 1) ]

[ 2 + 3 = 6 + 3 ]

[ 5 = 5 ]

Уравнение верно при (x = 0).

Таким образом, решение уравнения:

[ x = 0 ]

Для решения данного уравнения сначала объединим подобные слагаемые: 7^x + 37^x = 47^x 2^x + 32^x = 42^x

Теперь уравнение примет вид: 47^x + 1 = 42^x + 5

Перенесем все слагаемые с переменными на одну сторону уравнения: 47^x - 42^x = 5 - 1 47^x - 42^x = 4

Теперь вынесем общий множитель за скобку: 4(7^x - 2^x) = 4

Разделим обе части уравнения на 4: 7^x - 2^x = 1

Таким образом, получаем, что x = 1.

Проверим: (7^1 + 1) + (37^1) = (2^1 + 5) + (32^1) 8 + 21 = 7 + 15 29 = 22

Уравнение не выполняется. Найденное значение x не подходит.