5/(y+3) - 3/y =2-y/y^2+3y

Давайте рассмотрим уравнение:

[ \frac{5}{y+3} - \frac{3}{y} = 2 - \frac{y}{y^2+3y} ]

Первым шагом будет приведение всех дробей к общему знаменателю. Знаменатель слева - это ( (y+3) ) и ( y ), а справа - это ( y^2 + 3y ), что можно разложить на ( y(y+3) ).

Общий знаменатель здесь будет ( y(y+3) ).

Теперь перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

1. [ \frac{5}{y+3} \rightarrow \frac{5y}{y(y+3)} ]
2. [ \frac{3}{y} \rightarrow \frac{3(y+3)}{y(y+3)} ]
3. Правая часть уравнения: ( 2 - \frac{y}{y^2+3y} \rightarrow 2 - \frac{y}{y(y+3)} = 2 - \frac{1}{y+3} )

Итак, перепишем уравнение с общим знаменателем:

[ \frac{5y}{y(y+3)} - \frac{3(y+3)}{y(y+3)} = 2 - \frac{1}{y+3} ]

Давайте упростим левую часть уравнения:

[ \frac{5y - 3(y+3)}{y(y+3)} = \frac{5y - 3y - 9}{y(y+3)} = \frac{2y - 9}{y(y+3)} ]

Теперь перепишем уравнение с этой упрощенной формой:

[ \frac{2y - 9}{y(y+3)} = 2 - \frac{1}{y+3} ]

Теперь нам нужно привести правую часть уравнения к общему знаменателю:

[ 2 - \frac{1}{y+3} = \frac{2(y+3)}{y+3} - \frac{1}{y+3} = \frac{2y + 6 - 1}{y+3} = \frac{2y + 5}{y+3} ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ \frac{2y - 9}{y(y+3)} = \frac{2y + 5}{y+3} ]

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на общий знаменатель ( y(y+3) ):

[ 2y - 9 = (2y + 5)y ]

Это уравнение можно упростить до:

[ 2y - 9 = 2y^2 + 5y ]

Приведем всё к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение:

[ 0 = 2y^2 + 5y + 2y - 9 ] [ 0 = 2y^2 + 7y - 9 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac ]

Где ( a = 2 ), ( b = 7 ), и ( c = -9 ):

[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{4} ]

[ y = \frac{-7 \pm 11}{4} ]

У нас два возможных корня:

[ y_1 = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1 ] [ y_2 = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5 ]

Итак, два решения для уравнения:

[ y = 1 ] [ y = -4.5 ]

Проверим, не приводят ли эти значения к нулевому знаменателю в исходном уравнении. Для ( y = 1 ):

[ y+3 = 4 ] [ y = 1 ]

Для ( y = -4.5 ):

[ y+3 = -1.5 ] [ y = -4.5 ]

Ни одно из этих значений не приводит к нулевому знаменателю, таким образом, оба решения допустимы.

Для начала приведем уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. Умножим первое слагаемое на y, второе - на (y+3), третье - на y(y+3):

5y/y(y+3) - 3(y+3)/y(y+3) = (2y - y^2 - 3y)/y(y+3)

5y - 3y - 9 = (2y - y^2 - 3y)/y(y+3)

2y - 9 = (2y - y^2 - 3y)/y(y+3)

Упростим числитель дроби справа:

2y - 9 = (2y - y^2 - 3y)/(y^2 + 3y)

2y - 9 = (2y - y^2 - 3y)/(y(y+3))

2y - 9 = (-y^2 - y)/(y(y+3))

2y - 9 = -y(y + 1)/(y(y+3))

2y - 9 = -y - 9

2y = -y

3y = 0

y = 0

Таким образом, единственным корнем этого уравнения является y = 0.

Первый шаг - привести все дроби к общему знаменателю. Получится уравнение y^2 + 5y - 9 = 0. Далее решаем уравнение и находим корни.