- Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x2+ 6x- 5, прямыми х = 2, х = 3 и осью абсцисс, изобразив рисунок.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x^2 + 6x - 5, прямыми x = 2, x = 3 и осью абсцисс, необходимо найти точки пересечения функции с данными прямыми.
Сначала найдем точки пересечения функции f(x) с осью абсцисс, то есть где f(x) = 0: 0 = -x^2 + 6x - 5 x^2 - 6x + 5 = 0 (x - 5)(x - 1) = 0
Отсюда получаем, что x1 = 1 и x2 = 5.
Теперь найдем точки пересечения функции f(x) с прямыми x = 2 и x = 3. Подставляя значения x = 2 и x = 3 в уравнение f(x), получаем точки пересечения (2, f(2)) и (3, f(3)) соответственно.
f(2) = -2^2 + 6*2 - 5 = -4 + 12 - 5 = 3 Точка пересечения с x = 2: (2, 3)
f(3) = -3^2 + 6*3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 Точка пересечения с x = 3: (3, 4)
Изобразив данные точки на графике и соединив их линиями, получим фигуру, ограниченную графиком функции, прямыми x = 2, x = 3 и осью абсцисс. Площадь данной фигуры можно найти с помощью интеграла от функции f(x) на отрезке [1, 5], так как это будет площадь между функцией f(x) и осью абсцисс.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( f(x) = -x^2 + 6x - 5 ), прямыми ( x = 2 ), ( x = 3 ) и осью абсцисс, нужно выполнить несколько шагов.
Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс:
Для этого решим уравнение ( f(x) = 0 ): [ -x^2 + 6x - 5 = 0 ] Это квадратное уравнение. Найдем его корни по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = -1 ), ( b = 6 ), ( c = -5 ): [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2} ] [ x = \frac{-6 \pm 4}{-2} ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = 5 ]
Построить график функции:
График функции ( f(x) = -x^2 + 6x - 5 ) представляет собой параболу, открывающуюся вниз. Вершина этой параболы находится в точке: [ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 ] Подставим ( x = 3 ) в исходную функцию, чтобы найти координаты вершины: [ f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (3, 4) ).
Определить область интегрирования:
Наша область ограничена прямыми ( x = 2 ), ( x = 3 ) и осью абсцисс. Нам нужно найти точки пересечения функции ( f(x) ) с прямыми ( x = 2 ) и ( x = 3 ): [ f(2) = -(2)^2 + 6(2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3 ] [ f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = 4 ]
Найти площадь фигуры:
Для нахождения площади, ограниченной графиком функции и осями, нужно проинтегрировать функцию от ( x = 2 ) до ( x = 3 ): [ \text{Площадь} = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) \, dx ]
Вычислим интеграл: [ \int (-x^2 + 6x - 5) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x ] Подставим пределы интегрирования: [ \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{2}^{3} ] Сначала подставим верхний предел: [ \left( -\frac{3^3}{3} + 3(3)^2 - 5(3) \right) = \left( -\frac{27}{3} + 27 - 15 \right) = \left( -9 + 27 - 15 \right) = 3 ] Затем подставим нижний предел: [ \left( -\frac{2^3}{3} + 3(2)^2 - 5(2) \right) = \left( -\frac{8}{3} + 12 - 10 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) = \left( -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) = -\frac{2}{3} ] Теперь вычтем значение интеграла при нижнем пределе из значения интеграла при верхнем пределе: [ 3 - \left( -\frac{2}{3} \right) = 3 + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( f(x) = -x^2 + 6x - 5 ), прямыми ( x = 2 ), ( x = 3 ) и осью абсцисс, составляет ( \frac{11}{3} ) единиц площади.
