4sin^2x-1=0 !

Давайте решим уравнение (4\sin^2x - 1 = 0).

1. Сначала преобразуем уравнение: [ 4\sin^2x - 1 = 0 ] [ 4\sin^2x = 1 ] [ \sin^2x = \frac{1}{4} ]

2. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения, учитывая, что синус может принимать как положительные, так и отрицательные значения: [ \sin x = \pm\frac{1}{2} ]

3. Рассмотрим, при каких (x) синус принимает значения (\pm\frac{1}{2}). Известно, что (\sin x = \frac{1}{2}) при: [ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k ] где (k) — целое число.

А (\sin x = -\frac{1}{2}) при: [ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k ] где (k) также целое число.

1. Объединяя все решения, получаем, что уравнение (4\sin^2x - 1 = 0) выполняется при: [ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k ] где (k) — любое целое число.

Эти значения углов представляют собой решения исходного тригонометрического уравнения в рамках всех возможных значений (x) на числовой окружности, учитывая периодичность синуса, равную (2\pi).

Для того чтобы решить уравнение 4sin^2x - 1 = 0, нужно сначала выразить sin^2x из уравнения. Для этого добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

4sin^2x = 1

Затем разделим обе стороны на 4:

sin^2x = 1/4

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

sinx = ±√(1/4) = ±1/2

Таким образом, у нас два возможных решения:

1) sinx = 1/2 2) sinx = -1/2

Для первого случая угол x равен pi/6 или 30 градусов, так как sin(pi/6) = 1/2. Для второго случая угол x равен 5pi/6 или 150 градусов, так как sin(5pi/6) = -1/2.