3sin2 x – 7sin x + 4 = 0

Для решения уравнения 3sin^2 x - 7sin x + 4 = 0 сначала преобразуем его к квадратному уравнению относительно sin x. Для этого заменим sin x на переменную t:

3t^2 - 7t + 4 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = 7^2 - 434 = 49 - 48 = 1

t1,2 = (7 ± √1) / 6 = 4/3, 1

Таким образом, мы нашли два значения переменной t. Далее вернемся к исходному уравнению и найдем соответствующие значения sin x:

sin x = 4/3, 1

Так как значение sin не может превышать 1, то sin x = 4/3 не подходит. Следовательно, остается только одно решение:

sin x = 1

Таким образом, решение уравнения 3sin^2 x - 7sin x + 4 = 0: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Для решения уравнения 3sin^2 x - 7sin x + 4 = 0 можно воспользоваться методом замены переменной.

Для решения уравнения (3\sin^2 x - 7\sin x + 4 = 0) воспользуемся заменой переменной. Пусть (y = \sin x). Тогда уравнение примет вид:

[3y^2 - 7y + 4 = 0.]

Это квадратное уравнение относительно (y). Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0) имеет вид:

[D = b^2 - 4ac.]

В нашем случае (a = 3), (b = -7), (c = 4). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

[D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1.]

Дискриминант (D = 1) положителен, следовательно, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:

[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]

Подставим значения:

[y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{6}.]

[y_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3},]

[y_2 = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1.]

Теперь рассмотрим каждый из полученных корней.

1. (y_1 = \frac{4}{3}).

Так как (\sin x) не может быть больше 1 или меньше -1, корень (y_1 = \frac{4}{3}) не подходит, поскольку (\frac{4}{3} > 1).

1. (y_2 = 1).

В этом случае (\sin x = 1). Это возможно, когда:

[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,]

где (k) — целое число.

Таким образом, решением исходного уравнения является:

[x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.]