(3-а)х^2+2(а+1)x+2a=0 При каких значениях параметра а уравнение имеет корни одинаковых знаков?

Для уравнения ((3-a)x^2 + 2(a+1)x + 2a = 0) необходимо определить, при каких значениях параметра (a) его корни имеют одинаковые знаки. Уравнение является квадратным относительно (x), и его коэффициенты зависят от параметра (a).

Квадратное уравнение имеет вид (Ax^2 + Bx + C = 0), где:

• (A = 3-a),
• (B = 2(a+1)),
• (C = 2a).

Для того чтобы корни квадратного уравнения имели одинаковые знаки, необходимо выполнение двух условий:

1. Дискриминант уравнения должен быть неотрицательным ((D \geq 0)), чтобы уравнение имело действительные корни.
2. Все корни должны быть положительными или все корни должны быть отрицательными. Это определяется знаками коэффициентов и их комбинациями.

Начнем с дискриминанта:

[ D = B^2 - 4AC = [2(a+1)]^2 - 4(3-a)(2a). ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

[ D = 4(a+1)^2 - 8a(3-a) = 4(a^2 + 2a + 1) - 8(3a - a^2) = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 8a^2. ]

[ D = 12a^2 - 16a + 4. ]

Для того чтобы (D \geq 0), рассмотрим квадратное неравенство:

[ 12a^2 - 16a + 4 \geq 0. ]

Решим это неравенство. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

[ 12a^2 - 16a + 4 = 0. ]

Найдем дискриминант:

[ D' = (-16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 4 = 256 - 192 = 64. ]

Корни уравнения:

[ a_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{24} = \frac{16 \pm 8}{24}. ]

[ a_1 = \frac{24}{24} = 1, \quad a_2 = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}. ]

Решение неравенства (12a^2 - 16a + 4 \geq 0) дает интервалы:

• (a \leq \frac{1}{3}) или (a \geq 1).

Теперь учтем условие о знаках корней. Корни одного знака возможны в следующих случаях:

• Если (A > 0) и (C > 0), то оба корня положительны.
• Если (A < 0) и (C < 0), то оба корня отрицательны.

Рассмотрим каждый случай:

1. (A = 3-a > 0) и (C = 2a > 0):

   • (3-a > 0 \Rightarrow a < 3).
   • (2a > 0 \Rightarrow a > 0).

   Объединяя с условием для дискриминанта, получаем: (\frac{1}{3} \leq a < 3).

2. (A = 3-a < 0) и (C = 2a < 0):

   • (3-a < 0 \Rightarrow a > 3).
   • (2a < 0 \Rightarrow a < 0).

   Этот случай невозможен, так как пересечения условий нет.

Итак, уравнение имеет корни одинаковых знаков при (\frac{1}{3} \leq a < 3).

Для того чтобы уравнение (3-a)x^2 + 2(a+1)x + 2a = 0 имело корни одинаковых знаков, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицательным числом. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном случае у нас коэффициенты a = 3-a, b = 2(a+1), c = 2a. Подставим их в формулу для дискриминанта:

D = [2(a+1)]^2 - 4(3-a)(2a) = 4(a^2 + 2a + 1) - 8(6a - a^2) = 4a^2 + 8a + 4 - 48a + 8a^2 = 12a^2 - 40a + 4.

Чтобы найти значения параметра a, при которых дискриминант неотрицателен, нужно найти корни уравнения D >= 0:

12a^2 - 40a + 4 >= 0.

Далее, решаем это квадратное неравенство с помощью вычисления дискриминанта и определения знаков на интервалах:

D = (-40)^2 - 4124 = 1600 - 192 = 1408.

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет решения.

Далее, найдем корни уравнения 12a^2 - 40a + 4 = 0:

a1,2 = (40 ± √1408) / 24 ≈ 3.65, 0.18.

Таким образом, уравнение имеет корни одинаковых знаков при значениях параметра a из интервала (0.18; 3.65).

Условие, при котором уравнение имеет корни одинаковых знаков: a > -1.