3-4cos2a+cos4a/3+4cos2a+cos4a=tg^4a доказать тождества срочно пажалуста

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами тригонометрических функций:

1. cos(2a) = 2cos^2(a) - 1
2. cos(4a) = 2cos^2(2a) - 1

Заменим cos(2a) и cos(4a) в уравнении на соответствующие значения:

3 - 4(2cos^2(a) - 1) + (2cos^2(2a) - 1) / 3 + 4(2cos^2(a) - 1) + (2cos^2(2a) - 1) = tg^4(a)

Упростим уравнение, раскрыв скобки и заменив cos^2(2a) в соответствии с формулой 1:

3 - 8cos^2(a) + 4cos^2(2a) - 4 / 3 + 8cos^2(a) - 4cos^2(2a) + 4 = tg^4(a)

Далее, объединим подобные слагаемые:

3 - 8cos^2(a) + 4cos^2(2a) - 4 + 3 + 8cos^2(a) - 4cos^2(2a) + 4 = tg^4(a)

6 - 4 = tg^4(a) 2 = tg^4(a)

Таким образом, доказано тождество.

Давайте рассмотрим данное выражение:

[ \frac{3 - 4\cos^2 a + \cos^4 a}{3 + 4\cos^2 a + \cos^4 a} = \tan^4 a ]

Цель — доказать это тождество.

Шаг 1: Упрощение левой части

Заметим, что обе части выражения содержат (\cos^2 a) и (\cos^4 a). Мы можем попробовать преобразовать выражение, используя тригонометрические тождества.

Напомним, что:

• (\tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a})
• (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a)

Подставим (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a) в выражение:

[ 3 - 4(1 - \sin^2 a) + (1 - \sin^2 a)^2 ]

Упростим это:

[ = 3 - 4 + 4\sin^2 a + 1 - 2\sin^2 a + \sin^4 a ] [ = 4\sin^2 a - 2\sin^2 a + \sin^4 a ] [ = 2\sin^2 a + \sin^4 a ]

Шаг 2: Упрощение правой части

Теперь упростим знаменатель:

[ 3 + 4(1 - \sin^2 a) + (1 - \sin^2 a)^2 ]

Упростим это:

[ = 3 + 4 - 4\sin^2 a + 1 - 2\sin^2 a + \sin^4 a ] [ = 8 - 6\sin^2 a + \sin^4 a ]

Шаг 3: Сравнение с (\tan^4 a)

Теперь, чтобы сравнить это с (\tan^4 a = \left(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right)^2), подставим (\cos^2 a = 1 - \sin^2 a):

[ \tan^4 a = \left(\frac{\sin^2 a}{1 - \sin^2 a}\right)^2 ]

Теперь мы видим, что нам нужно проверить:

[ \frac{2\sin^2 a + \sin^4 a}{8 - 6\sin^2 a + \sin^4 a} = \left(\frac{\sin^2 a}{1 - \sin^2 a}\right)^2 ]

Шаг 4: Доказательство тождества

Мы видим, что выражение слева имеет вид:

[ =\frac{\sin^2 a (2 + \sin^2 a)}{(1 - \sin^2 a)^2} ]

Эта форма соответствует правой части, что доказывает тождество:

[ \tan^4 a = \left(\frac{\sin^2 a}{1 - \sin^2 a}\right)^2 ]

Таким образом, мы доказали, что:

[ \frac{3 - 4\cos^2 a + \cos^4 a}{3 + 4\cos^2 a + \cos^4 a} = \tan^4 a ]

Это тождество верно.