√-2x^2+5x+2 Найдите область определения выражения.
√-2x^2+5x+2 Найдите область определения выражения.
Чтобы определить область определения выражения (\sqrt{-2x^2 + 5x + 2}), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть:
[ -2x^2 + 5x + 2 \geq 0. ]
Решим неравенство (-2x^2 + 5x + 2 \geq 0).
Сначала решим уравнение:
[ -2x^2 + 5x + 2 = 0. ]
Для этого воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]
где (a = -2), (b = 5), (c = 2).
Подставим значения:
Дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 25 + 16 = 41. ]
Корни уравнения:
[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{-4}. ]
Таким образом, корни уравнения:
[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{-4}, ] [ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{-4}. ]
Корни разбивают числовую прямую на три промежутка. Поскольку коэффициент перед (x^2) отрицательный, парабола направлена вниз. Таким образом, неравенство (-2x^2 + 5x + 2 \geq 0) будет выполняться на промежутке между корнями.
Запишем решение:
[ x \in \left[\frac{-5 - \sqrt{41}}{-4}, \frac{-5 + \sqrt{41}}{-4}\right]. ]
Таким образом, область определения выражения (\sqrt{-2x^2 + 5x + 2}) — это промежуток
[ x \in \left[\frac{-5 - \sqrt{41}}{-4}, \frac{-5 + \sqrt{41}}{-4}\right]. ]
Для того чтобы найти область определения выражения √(-2x^2 + 5x + 2), необходимо найти значения переменной x, при которых подкоренное выражение (-2x^2 + 5x + 2) является неотрицательным.
Дискриминант квадратного уравнения -2x^2 + 5x + 2 должен быть больше или равен нулю, чтобы выражение находилось под корнем. Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = -2, b = 5, c = 2. Подставляя значения, получаем D = 5^2 - 4(-2)2 = 25 + 16 = 41.
Таким образом, выражение √(-2x^2 + 5x + 2) определено при условии, что дискриминант больше или равен нулю, то есть D ≥ 0. В данном случае D = 41, что больше нуля, следовательно, областью определения выражения является множество всех действительных чисел.
