2,Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника...

Задача 2: Периметр и площадь прямоугольника

Дано:

• Периметр ( P = 20 ) см
• Площадь ( S = 24 ) см²

Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). Периметр прямоугольника выражается формулой: [ P = 2(a + b) ] Подставим известное значение периметра: [ 20 = 2(a + b) \implies a + b = 10 ]

Площадь прямоугольника определяется как: [ S = a \cdot b ] Подставим известное значение площади: [ 24 = a \cdot b ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( a + b = 10 )
2. ( a \cdot b = 24 )

Из первого уравнения выразим ( b ): [ b = 10 - a ]

Подставим это значение во второе уравнение: [ a \cdot (10 - a) = 24 ] Раскроем скобки: [ 10a - a^2 = 24 ] Приведем уравнение к стандартному виду: [ a^2 - 10a + 24 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 ]

Корни уравнения находятся по формуле: [ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{2} = \frac{12}{2} \text{ или } \frac{8}{2} ] Таким образом, получаем: [ a_1 = 6, \quad a_2 = 4 ]

Следовательно, стороны прямоугольника: [ a = 6 \text{ см}, \quad b = 4 \text{ см} ]

Задача 3: Уравнение с одним корнем

Дано уравнение: [ x^2 + px - 18 = 0 ] Известно, что один из корней равен ( -9 ). Обозначим другой корень как ( r ).

Согласно свойствам корней квадратного уравнения, сумма корней ( (-9 + r) ) равна ( -p ), а произведение корней ( (-9 \cdot r) ) равно ( -18 ).

1. Сначала найдем ( p ): [ -9 \cdot r = -18 \implies 9r = 18 \implies r = 2 ]

2. Теперь найдем сумму корней: [ -9 + 2 = -p \implies -7 = -p \implies p = 7 ]

Итак, другой корень равен ( 2 ), а коэффициент ( p ) равен ( 7 ).

Ответы:

• Стороны прямоугольника: ( 6 ) см и ( 4 ) см.
• Другой корень: ( 2 ), коэффициент ( p = 7 ).

Рассмотрим оба вопроса по порядку и дадим развернутые решения.

Задача 1. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 20 см, а площадь равна 24 см².

Обозначим стороны прямоугольника за ( a ) и ( b ).

Условия задачи:

1. Периметр прямоугольника:
   [ P = 2(a + b) = 20 \quad \Rightarrow \quad a + b = 10. ]

2. Площадь прямоугольника:
   [ S = a \cdot b = 24. ]

Таким образом, у нас есть система двух уравнений: [ a + b = 10, \quad a \cdot b = 24. ]

Решение:

Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ):
[ b = 10 - a. ]

Подставим это выражение во второе уравнение:
[ a \cdot (10 - a) = 24. ]

Раскроем скобки:
[ 10a - a^2 = 24. ]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
[ a^2 - 10a + 24 = 0. ]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4. ]

Корни уравнения:
[ a = \frac{-(-10) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2}{2}. ]

Получаем два корня:
[ a = \frac{10 + 2}{2} = 6 \quad \text{и} \quad a = \frac{10 - 2}{2} = 4. ]

Соответствующие значения ( b ):
Если ( a = 6 ), то ( b = 10 - 6 = 4 ).
Если ( a = 4 ), то ( b = 10 - 4 = 6 ).

Ответ: стороны прямоугольника — ( 6 \, \text{см} ) и ( 4 \, \text{см} ).

Задача 2. В уравнении ( x^2 + px - 18 = 0 ) один из его корней равен ( -9 ). Найти другой корень и коэффициент ( p ).

Условие:

Квадратное уравнение:
[ x^2 + px - 18 = 0. ]

Известно, что один из корней равен ( x_1 = -9 ). Найти второй корень ( x_2 ) и коэффициент ( p ).

Решение:

1. Связь корней квадратного уравнения с его коэффициентами.

По теореме Виета:
[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = -18. ]

Подставим известный корень ( x_1 = -9 ):
[ -9 + x_2 = -p, \quad -9 \cdot x_2 = -18. ]

1. Найдем второй корень ( x_2 ):
   Из второго уравнения:
   [ -9 \cdot x_2 = -18 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{-18}{-9} = 2. ]

2. Найдем коэффициент ( p ):
   Подставим ( x_1 = -9 ) и ( x_2 = 2 ) в первое уравнение:
   [ -9 + 2 = -p \quad \Rightarrow \quad -7 = -p \quad \Rightarrow \quad p = 7. ]

Ответ:

Другой корень ( x_2 = 2 ), коэффициент ( p = 7 ).

Итоговые ответы:

1. Стороны прямоугольника: ( 6 \, \text{см} ) и ( 4 \, \text{см} ).
2. Второй корень: ( 2 ), коэффициент ( p = 7 ).