2^log4(x+1)=3 Решите логарифмическое уравнение

Конечно! Давайте рассмотрим уравнение (2^{\log_4(x+1)} = 3) и постараемся решить его пошагово.

Шаг 1: Преобразование логарифма

Прежде всего, заметим, что (\log_4(x+1)) можно преобразовать через логарифм по основанию 2. Напомним, что (\log_4(x+1)) можно выразить через (\log_2(x+1)) следующим образом: [ \log_4(x+1) = \frac{\log_2(x+1)}{\log_2 4} ] Поскольку (\log_2 4 = 2), у нас получится: [ \log_4(x+1) = \frac{\log_2(x+1)}{2} ]

Шаг 2: Подставим преобразованный логарифм в уравнение

Подставим это значение в исходное уравнение: [ 2^{\frac{\log_2(x+1)}{2}} = 3 ]

Шаг 3: Упростим экспоненту

Чтобы упростить выражение, введем замену (y = \log_2(x+1)). Тогда уравнение принимает вид: [ 2^{\frac{y}{2}} = 3 ]

Шаг 4: Избавимся от дробного показателя степени

Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат: [ \left(2^{\frac{y}{2}}\right)^2 = 3^2 ] [ 2^y = 9 ]

Шаг 5: Переходим к логарифму

Теперь применим логарифм по основанию 2 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от показателя степени: [ \log_2(2^y) = \log_2(9) ] [ y = \log_2(9) ]

Шаг 6: Возвращаемся к переменной (x)

Напомним, что (y = \log_2(x+1)). Следовательно: [ \log_2(x+1) = \log_2(9) ]

Шаг 7: Сравниваем аргументы логарифмов

Теперь, зная, что логарифмы равны, можем приравнять их аргументы: [ x+1 = 9 ]

Шаг 8: Выражаем (x)

Решаем это простое уравнение: [ x = 9 - 1 ] [ x = 8 ]

Ответ

Таким образом, решением уравнения (2^{\log_4(x+1)} = 3) является (x = 8).

x = 15

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его: 2^(log4(x+1)) = 3 log4(x+1) = log2(3)

Теперь применим свойство логарифма: если loga(b) = loga(c), то b = c. Таким образом, получаем: 4(x+1) = 2^3 4(x+1) = 8 x + 1 = 2 x = 1

Ответ: x = 1.