2cos^2x+sin4x=1 Решите уравнение(подробно) 10 класс

Для решения уравнения 2cos^2x + sin4x = 1 сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

Заметим, что sin4x можно представить через cos2x с помощью формулы двойного угла: sin2α = 2sinαcosα. Таким образом, sin4x = 2sin2xcos2x.

Подставим это выражение в уравнение: 2cos^2x + 2sin2xcos2x = 1.

Теперь преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества: 2cos^2x + 2sin2xcos2x = 2cos^2x + sin2x = 1.

Теперь мы имеем уравнение 2cos^2x + sin2x = 1.

Так как sin2x = 1 - 2cos^2x, подставим это выражение обратно в уравнение: 2cos^2x + 1 - 2cos^2x = 1.

Упростим уравнение: 1 = 1.

Таким образом, уравнение 2cos^2x + sin4x = 1 имеет бесконечное количество решений, так как оно тождественно истинно.

Для решения уравнения (2\cos^2 x + \sin 4x = 1) начнем с упрощения и преобразования тригонометрических функций.

1. Сначала используем тождество для косинуса: (\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}). Подставляем это в уравнение:

   [ 2\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) + \sin 4x = 1 ]

   Упрощаем:

   [ 1 + \cos 2x + \sin 4x = 1 ]

   Отсюда получаем:

   [ \cos 2x + \sin 4x = 0 ]

2. Разложим (\sin 4x) с помощью тригонометрического тождества: (\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x).

   Теперь уравнение принимает вид:

   [ \cos 2x + 2 \sin 2x \cos 2x = 0 ]

3. Вынесем (\cos 2x) за скобки:

   [ \cos 2x (1 + 2 \sin 2x) = 0 ]

   Отсюда следует, что либо (\cos 2x = 0), либо (1 + 2 \sin 2x = 0).

4. Решим первое уравнение (\cos 2x = 0):

   [ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   Следовательно,

   [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} ]

5. Решим второе уравнение (1 + 2 \sin 2x = 0):

   [ 2 \sin 2x = -1 ]

   [ \sin 2x = -\frac{1}{2} ]

   Решаем уравнение (\sin 2x = -\frac{1}{2}):

   [ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   Делим обе части на 2:

   [ x = -\frac{\pi}{12} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

6. Таким образом, общее решение уравнения:

   [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   [ x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   [ x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это и будет полное решение данного тригонометрического уравнения.

2cos^2x + sin4x = 1

При помощи тождества двойного угла sin(2x) = 2sinxcosx, можем переписать уравнение следующим образом:

2cos^2x + 2sin2xcos2x = 1

Теперь используем тождество половинного угла sin(2x) = 2sinxcosx:

2cos^2x + sin(2x) = 1

sin(2x) = 1 - 2cos^2x

sin(2x) = sin(π/2 - 2x)

Следовательно:

2x = π/2 - 2x + 2πk 4x = π/2 + 2πk x = π/8 + πk/2

Ответ: x = π/8 + πk/2, где k - целое число.