2cos^2 x+5cosx+3=0 помогите решить

Для решения данного уравнения используем метод подстановки. Обозначим ( t = cosx ), тогда уравнение примет вид ( 2t^2 + 5t + 3 = 0 ). Далее находим корни этого квадратного уравнения:

[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 ]

[ t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 1}{4} ]

[ t_1 = \frac{-5 + 1}{4} = -1 ], ( t_2 = \frac{-5 - 1}{4} = -1.5 )

Теперь найдем значения ( x ) для каждого из корней ( t ):

Для ( t_1 = -1 ):

[ cosx = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} ]

Для ( t_2 = -1.5 ):

Так как ( -1 \leq cosx \leq 1 ), корень ( t_2 = -1.5 ) не подходит.

Таким образом, уравнение ( 2cos^2 x + 5cosx + 3 = 0 ) имеет единственное решение ( x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} ).

Для решения уравнения (2\cos^2 x + 5\cos x + 3 = 0) можно применить метод замены переменной. Пусть (y = \cos x). Тогда уравнение становится квадратным относительно (y):

[2y^2 + 5y + 3 = 0.]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1.]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле:

[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]

Подставляя значения, получаем:

[y_1 = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1,]

[y_2 = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}.]

Теперь вернемся к исходной переменной (\cos x):

1. (\cos x = -1.)

2. (\cos x = -\frac{3}{2}.)

Рассмотрим каждое из этих уравнений:

1. (\cos x = -1.)

   Это уравнение имеет решение (x = \pi + 2k\pi), где (k) — целое число, так как (\cos x = -1) соответствует углу (x = \pi).

2. (\cos x = -\frac{3}{2}.)

   Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может быть меньше -1 или больше 1.

Итак, единственным решением уравнения (2\cos^2 x + 5\cos x + 3 = 0) является

[x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.]