2 sin 30° + 6 cos 60° - 3 ctg 30° + 9 tg 30°

Чтобы решить выражение (2 \sin 30° + 6 \cos 60° - 3 \cot 30° + 9 \tan 30°), нужно подставить значения тригонометрических функций:

(\sin 30° = \frac{1}{2})
(\cos 60° = \frac{1}{2})
(\cot 30° = \sqrt{3})
(\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}})

Теперь подставим эти значения в выражение:

[ 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \sqrt{3} + 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Это упрощается до:

[ 1 + 3 - 3\sqrt{3} + \frac{9}{\sqrt{3}} ]

Преобразуем (\frac{9}{\sqrt{3}}) в (3\sqrt{3}):

[ 1 + 3 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} ]

Теперь сокращаем:

[ 1 + 3 = 4 ]

Ответ: (4).

Посчитаем данное выражение шаг за шагом, используя значения тригонометрических функций для углов 30° и 60°, которые можно найти из таблицы или вывести из тригонометрических соотношений в равностороннем треугольнике.

Дано: [ 2 \sin 30^\circ + 6 \cos 60^\circ - 3 \operatorname{ctg} 30^\circ + 9 \operatorname{tg} 30^\circ ]

1. Значения тригонометрических функций

• ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} )
• ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} )
• ( \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} )
• ( \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3} )

2. Подставим значения в выражение:

[ 2 \cdot \sin 30^\circ + 6 \cdot \cos 60^\circ - 3 \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ + 9 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ ]

[ = 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \sqrt{3} + 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} ]

3. Упростим каждый член:

• ( 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 )
• ( 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 )
• ( 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} )
• ( 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} )

Теперь выражение принимает вид: [ 1 + 3 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} ]

4. Сложим и приведём подобные члены:

• Члены с ( \sqrt{3} ): (-3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0)
• Обычные числа: ( 1 + 3 = 4 )

5. Ответ:

[ 4 ]

Итак, значение выражения равно 4.

Чтобы решить выражение ( 2 \sin 30° + 6 \cos 60° - 3 \cot 30° + 9 \tan 30° ), начнем с вычисления значений тригонометрических функций для указанных углов.

1. Вычислим ( \sin 30° ): [ \sin 30° = \frac{1}{2} ]

2. Вычислим ( \cos 60° ): [ \cos 60° = \frac{1}{2} ]

3. Вычислим ( \cot 30° ) (котангенс равен обратному тангенсу): [ \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad \cot 30° = \frac{1}{\tan 30°} = \sqrt{3} ]

4. Вычислим ( \tan 30° ): [ \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

[ 2 \sin 30° + 6 \cos 60° - 3 \cot 30° + 9 \tan 30° ]

Подставим найденные значения:

[ = 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot \sqrt{3} + 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Теперь упростим выражение:

1. Первое слагаемое: [ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 ]

2. Второе слагаемое: [ 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 ]

Теперь объединим первые два слагаемых:

[ 1 + 3 = 4 ]

Теперь подставим оставшиеся слагаемые:

[ 4 - 3\sqrt{3} + \frac{9}{\sqrt{3}} ]

Перепишем последнее слагаемое, чтобы упростить расчеты:

[ \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} ]

Таким образом, мы имеем:

[ 4 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4 ]

Итак, окончательный ответ:

[ \boxed{4} ]