Давайте разберемся с каждым заданием по порядку.
1. Выполните действия:
а) ((2у + \frac{1}{4})^2)
Это выражение является квадратом суммы. Применим формулу квадрата суммы ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2):
[
(2у + \frac{1}{4})^2 = (2у)^2 + 2 \cdot 2у \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = 4у^2 + 2 \cdot \frac{2у}{4} + \frac{1}{16} = 4у^2 + \frac{1}{2}у + \frac{1}{16}
]
б) ((-7х - 1)^2)
Это выражение также является квадратом суммы:
[
(-7х - 1)^2 = (-7х)^2 + 2 \cdot (-7х) \cdot (-1) + (-1)^2 = 49х^2 + 14х + 1
]
в) ((а^2 - 2b)^2)
Применим формулу квадрата разности:
[
(а^2 - 2b)^2 = (а^2)^2 - 2 \cdot а^2 \cdot 2b + (2b)^2 = а^4 - 4а^2b + 4b^2
]
г) ((8x + x^3)^2)
Применим формулу квадрата суммы:
[
(8x + x^3)^2 = (8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot x^3 + (x^3)^2 = 64x^2 + 16x^4 + x^6
]
2. Представьте трехчлен двумя способами в виде квадрата двучлена:
а) (100х^2 + 1 - 20x)
Рассмотрим выражение:
[
100х^2 - 20x + 1 = (10х - 1)^2
]
б) (x^4 + 4y^2 + 4x^2y)
Рассмотрим выражение:
[
x^4 + 4x^2y + 4y^2 = (x^2 + 2y)^2
]
3. Раскройте скобки:
а) ((3а - b)^2 - (3a + b)^2)
Применим формулы квадрата разности и квадрата суммы:
[
(3а - b)^2 - (3а + b)^2 = [9a^2 - 6ab + b^2] - [9a^2 + 6ab + b^2] = 9a^2 - 6ab + b^2 - 9a^2 - 6ab - b^2 = -12ab
]
б) ((a + (b - c))^2)
Применим формулу квадрата суммы:
[
(a + (b - c))^2 = (a + b - c)^2 = a^2 + 2a(b - c) + (b - c)^2 = a^2 + 2ab - 2ac + b^2 - 2bc + c^2
]
1. Преобразуйте выражения:
а) ((5a + 0,2)(0,2 - 5а))
Применим распределительное свойство:
[
(5a + 0,2)(0,2 - 5а) = 5a \cdot 0,2 + 5a \cdot (-5a) + 0,2 \cdot 0,2 + 0,2 \cdot (-5a) = 1a - 25a^2 + 0,04 - a = -25a^2 + 0,04
]
б) ((-6а - 2b)(6а - 2b))
Применим формулу разности квадратов:
[
(-6а - 2b)(6а - 2b) = -(6а)^2 - (2b)^2 = -36а^2 - 4b^2
]
в) ((b^2 + 4)(b - 2)(b + 2))
Применим формулу разности квадратов:
[
(b - 2)(b + 2) = b^2 - 4
]
Тогда:
[
(b^2 + 4)(b - 2)(b + 2) = (b^2 + 4)(b^2 - 4) = b^4 - 16
]
2. Разложите на множители:
а) (-а^4 + 16)
Это разность квадратов:
[
-а^4 + 16 = -(a^4 - 16) = -(a^2 - 4)(a^2 + 4) = -(a-2)(a+2)(a^2+4)
]
б) (64x^2 - (x - 1)^2)
Применим формулу разности квадратов:
[
64x^2 - (x - 1)^2 = (8x)^2 - (x - 1)^2 = (8x - (x - 1))(8x + (x - 1)) = (8x - x + 1)(8x + x - 1) = (7x + 1)(9x - 1)
]
в) ((3x - 3)^2 - (x + 2)^2)
Применим формулу разности квадратов:
[
(3x - 3)^2 - (x + 2)^2 = [(3x - 3) - (x + 2)][(3x - 3) + (x + 2)] = (2x - 5)(4x - 1)
]
3. Решите уравнения:
а) ((2x - 1)^2 - 4(x - 2)(x + 2) = 0)
Применим формулу разности квадратов и раскроем скобки:
[
(2x - 1)^2 - 4(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 16 = 0 \Rightarrow -4x + 17 = 0 \Rightarrow x = \frac{17}{4}
]
б) (\frac{1}{4}x^2 = 0,16)
Умножим обе части уравнения на 4:
[
x^2 = 0,64 \Rightarrow x = \pm \sqrt{0,64} \Rightarrow x = \pm 0,8
]
4. Представьте в виде произведения:
а) (8x^3 + 0,064у^3)
Это сумма кубов:
[
8x^3 + 0,064y^3 = (2x)^3 + (0,4y)^3 = (2x + 0,4y)((2x)^2 - 2x \cdot 0,4y + (0,4y)^2) = (2x + 0,4y)(4x^2 - 0,8xy + 0,16y^2)
]
б) (x^6 - 64)
Это разность кубов:
[
x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) = (x - 2)(x + 2)(x^4 + 4x^2 + 16)
]
Надеюсь, эти решения помогут вам в понимании алгебры!
