1.Вычислить скалярное произведение (2a+b)a, если а=(1,0,3),b=(2,-1,1). 2. При как4ом значении m вектор...

1. Сначала вычислим скалярное произведение (2a+b)a: (2a+b)a = 2(aa) + (ba) = 2(11 + 00 + 33) + (21 + (-1)0 + 13) = 2(1+9) + (2+3) = 20

2. Два вектора a и b коллинеарны, если они параллельны, то есть один равен другому, умноженному на некоторое число. Для проверки коллинеарности векторов a и b необходимо найти такое значение m, при котором векторы будут коллинеарны.

Для этого необходимо, чтобы координаты вектора a были пропорциональны координатам вектора b. Таким образом, мы должны найти значение m, при котором выполняется условие: 4/(-1/2) = b/(-3/4) = m/3.

Из первого равенства получаем: 4/(-1/2) = -8, следовательно, b = -8*(-3/4) = 6.

Из второго равенства получаем: 4/(-1/2) = m/3, тогда m = 4*(-2/1) = -8.

Таким образом, при значении m = -8 векторы a и b будут коллинеарны.

1. Скалярное произведение (2a+b)a = 2(aa) + (ba) = 2(1^2 + 0^2 + 3^2) + (21 + (-1)0 + 13) = 210 + 2 + 3 = 20 + 2 + 3 = 25.

2. Векторы a и b коллинеарны, если они параллельны, то есть когда один является кратным другому. Значит, a и b коллинеарны при любом значении m.

Давай разберём оба вопроса по порядку.

1. Вычислить скалярное произведение (2a+b) и a, если a=(1,0,3), b=(2,-1,1).

Шаг 1: Найдём вектор ( 2a + b )

Сначала умножим вектор ( a ) на 2: [ 2a = 2 \cdot (1,0,3) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 0, 2 \cdot 3) = (2, 0, 6) ]

Теперь сложим векторы ( 2a ) и ( b ): [ 2a + b = (2, 0, 6) + (2, -1, 1) = (2 + 2, 0 - 1, 6 + 1) = (4, -1, 7) ]

Шаг 2: Найдём скалярное произведение ( (2a + b) \cdot a )

Скалярное произведение двух векторов ( (x_1, y_1, z_1) ) и ( (x_2, y_2, z_2) ) вычисляется как: [ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 ]

Подставим наши векторы ( (2a + b) = (4, -1, 7) ) и ( a = (1, 0, 3) ): [ (4, -1, 7) \cdot (1, 0, 3) = 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 7 \cdot 3 ] [ = 4 + 0 + 21 = 25 ]

Ответ на первый вопрос: скалярное произведение ( (2a + b) \cdot a ) равно 25.

2. При каком значении ( m ) векторы ( a = (4, b, m) ) и ( b = (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 3) ) будут коллинеарны?

Шаг 1: Определение коллинеарности

Векторы ( a ) и ( b ) будут коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого на некоторый скаляр ( k ). То есть: [ a = k \cdot b ]

Шаг 2: Составим систему уравнений

Если ( a = (4, b, m) ) и ( b = (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 3) ), то: [ (4, b, m) = k \cdot (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 3) ]

Это даёт нам три уравнения:

1. ( 4 = k \cdot (-\frac{1}{2}) )
2. ( b = k \cdot (-\frac{3}{4}) )
3. ( m = k \cdot 3 )

Шаг 3: Найдём значение ( k )

Решим первое уравнение для ( k ): [ 4 = k \cdot (-\frac{1}{2}) ] [ k = 4 \cdot (-2) ] [ k = -8 ]

Шаг 4: Найдём ( m )

Теперь подставим ( k ) в третье уравнение: [ m = k \cdot 3 ] [ m = -8 \cdot 3 ] [ m = -24 ]

Ответ на второй вопрос: векторы ( a ) и ( b ) будут коллинеарны при ( m = -24 ).