1.Упростите выражение (6а/а^2-b^2 - 2/a+b + 3/b-a)/ 1/4a+4b
2.Решите уравнение 2x+4/x^2-x - x-4/x^2+x =0
3.Решите неравенства: а) (x-2)(x-4)/x+3
1.Упростите выражение (6а/а^2-b^2 - 2/a+b + 3/b-a)/ 1/4a+4b
2.Решите уравнение 2x+4/x^2-x - x-4/x^2+x =0
3.Решите неравенства: а) (x-2)(x-4)/x+3
Давайте решим предложенные задачи поочередно.
Упростим выражение: [ \frac{\frac{6a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a+b} + \frac{3}{b-a}}{\frac{1}{4a} + 4b} ]
Заметим, что (a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)), и (\frac{1}{b-a} = -\frac{1}{a-b}). Тогда: [ \frac{6a}{a^2 - b^2} = \frac{6a}{(a+b)(a-b)} ] [ -\frac{2}{a+b} = \frac{-2(a-b)}{(a+b)(a-b)} ] [ \frac{3}{b-a} = -\frac{3}{a-b} = \frac{3(a+b)}{(a+b)(a-b)} ]
Сложим три дроби: [ \frac{6a - 2(a-b) + 3(a+b)}{(a+b)(a-b)} ] [ \frac{6a - 2a + 2b + 3a + 3b}{(a+b)(a-b)} = \frac{7a + 5b}{a^2 - b^2} ]
Теперь упростим знаменатель основной дроби: [ \frac{1}{4a} + 4b = \frac{1 + 16ab}{4a} ]
Таким образом, исходное выражение принимает вид: [ \frac{\frac{7a + 5b}{a^2 - b^2}}{\frac{1+16ab}{4a}} = \frac{7a + 5b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{4a}{1 + 16ab} = \frac{(7a + 5b) \cdot 4a}{(a^2-b^2)(1+16ab)} ]
Решим уравнение: [ \frac{2x + 4}{x^2 - x} - \frac{x - 4}{x^2 + x} = 0 ]
Приведем уравнение к общему знаменателю: [ \frac{2x + 4}{x(x-1)} - \frac{x - 4}{x(x+1)} = 0 ]
Общий знаменатель (x(x-1)(x+1)). Сложим числители: [ \frac{(2x + 4)(x+1) - (x - 4)(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = 0 ] [ \frac{2x^2 + 2x + 4x + 4 - x^2 + x + 4x - 4}{x(x-1)(x+1)} = 0 ] [ \frac{x^2 + 11x}{x(x-1)(x+1)} = 0 ]
Решение (x^2 + 11x = 0): [ x(x + 11) = 0 ] (x = 0) или (x = -11).
Решим неравенство: [ \frac{(x-2)(x-4)}{x+3} \geq 0 ]
Рассмотрим нули числителя и знаменателя:
Строим таблицу знаков:
| (x) | (-\infty) | (-3) | (2) | (4) | (+\infty) |
|---|---|---|---|---|---|
| Знак | (-) | Разрыв | (0) | (0) | (+) |
Ответ: (x \in (-\infty, -3) \cup [2, 4]).
(6a/(a^2-b^2) - 2/(a+b) + 3/(b-a)) / (1/(4a+4b)) Ответ: (6a/(a+b)(a-b) - 2/(a+b) + 3/(b-a)) / (1/(4(a+b)))
2x+4/(x^2-x) - (x-4)/(x^2+x) = 0 Ответ: x = 1
а) (x-2)(x-4)/(x+3) > 0 Ответ: x < -3, x > 2, x < 4
Для упрощения данного выражения сначала приведем все дроби к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель. Получим: (6a(a+b) - 2(a^2 - b^2) + 3(b-a))/(1/4a+4b). Далее раскроем скобки и упростим выражение: (6a^2 + 6ab - 2a^2 + 2b^2 + 3b - 3a)/(1/4a+4b). Преобразуем числитель: (4a^2 + 6ab + 2b^2 + 3b - 3a)/(1/4a+4b). Теперь умножим числитель и знаменатель на 4a+4b: (4a^2 + 6ab + 2b^2 + 3b - 3a)(4a+4b)/(1).
Для решения уравнения 2x + 4/x^2 - x - x - 4/x^2 + x = 0 сначала объединим дроби: (2x^3 - 2x - 4) / (x^2 - x) = 0. Далее факторизуем числитель: 2(x - 2)(x^2 + 1) / x(x - 1) = 0. Решим уравнение: x = 2, x = -i, x = i, x = 0, x = 1.
Для решения неравенства (x-2)(x-4)/x+3 < 0 найдем корни уравнения x+3 = 0: x = -3. Построим знаки на числовой прямой и найдем интервалы, на которых неравенство выполняется: (-бесконечность, -3) и (2, 4).
