1.Правильный треугольник вписан в окружность, a3 = 4 корня из 3. Найти сторону квадрата, описанного...

1. Давайте начнем с первого вопроса. У нас есть правильный треугольник, вписанный в окружность, и дано ( a_3 = 4 \sqrt{3} ), где ( a_3 ) – это сторона треугольника.

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, существует формула для радиуса этой окружности (R): [ R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} ] Подставим данное значение стороны ( a_3 = 4 \sqrt{3} ): [ R = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 ]

Теперь нам нужно найти сторону квадрата, описанного около этой окружности. Вспомним, что диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата. Диаметр окружности – это удвоенный радиус: [ D = 2R = 2 \times 4 = 8 ]

Следовательно, сторона квадрата ( s ) равна диаметру окружности: [ s = 8 ]

Таким образом, сторона квадрата равна 8.

1. Теперь перейдем ко второму вопросу. У нас есть правильный треугольник ( ABC ), вписанный в окружность с радиусом ( R = 5 ). Требуется найти длину стороны ( AC ), радиус вписанной окружности и площадь треугольника.

Для правильного треугольника сторона ( a ) связана с радиусом описанной окружности следующим образом: [ a = R \sqrt{3} ]

Подставим значение радиуса ( R = 5 ): [ a = 5 \sqrt{3} ]

Далее находим радиус вписанной окружности ( r ). Для правильного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле: [ r = \frac{R \sqrt{3}}{2} ]

Подставим значение радиуса ( R = 5 ): [ r = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \approx 4.33 ]

Теперь найдем площадь правильного треугольника. Площадь ( S ) правильного треугольника с радиусом описанной окружности ( R ) можно найти так: [ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \times a^2 ]

Подставим значение стороны ( a = 5 \sqrt{3} ): [ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \times (5 \sqrt{3})^2 ] [ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \times 75 ] [ S = \frac{225 \sqrt{3}}{4} ] [ S = 56.25 \sqrt{3} ]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна ( 5 \sqrt{3} ), радиус вписанной окружности равен ( \frac{5 \sqrt{3}}{2} \approx 4.33 ), а площадь треугольника равна ( 56.25 \sqrt{3} ).

1. Правильный треугольник вписан в окружность, а его сторона равна 4√3. Для нахождения стороны квадрата, описанного около этой же окружности, можно воспользоваться теоремой Пифагора. По этой теореме, для правильного треугольника сторона квадрата, описанного около окружности, будет равна двойному радиусу окружности (2r), где r - радиус вписанной окружности. Таким образом, сторона квадрата будет равна 2*4√3 = 8√3.

2. В правильном треугольнике АВС, вписанном в окружность, радиус окружности, проведенный из угла А, равен 5. По определению правильного треугольника, такой треугольник равносторонний, значит, все его стороны равны. Поэтому AC также будет равно 5. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника равен половине стороны треугольника, то есть r = 5/2 = 2.5. Площадь вписанной окружности можно найти по формуле S = πr^2, где S - площадь, а r - радиус. Подставив значения, получаем S = π * (2.5)^2 = 6.25π.