1/2 log3 (5x-1) - log3 (x+1) = 0 помогите пожалуйста очень нужно

Конечно, давайте разберёмся с уравнением:

[ \frac{1}{2} \log_3 (5x - 1) - \log_3 (x + 1) = 0 ]

Для начала, упростим уравнение. Мы можем избавиться от дроби перед первым логарифмом, возведя аргумент логарифма в степень:

[ \log_3 ((5x - 1)^{1/2}) - \log_3 (x + 1) = 0 ]

Теперь, применим свойство логарифмов: (\log_b A - \log_b B = \log_b \frac{A}{B}). Применяем это свойство:

[ \log_3 \left(\frac{(5x - 1)^{1/2}}{x + 1}\right) = 0 ]

Если логарифм равен нулю, это означает, что его аргумент равен 1 (так как (\log_b 1 = 0) для любого (b > 0)). Следовательно:

[ \frac{(5x - 1)^{1/2}}{x + 1} = 1 ]

Решим это уравнение:

1. Умножим обе стороны на (x + 1):

[ (5x - 1)^{1/2} = x + 1 ]

1. Возведём обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

[ 5x - 1 = (x + 1)^2 ]

1. Раскроем скобки справа:

[ 5x - 1 = x^2 + 2x + 1 ]

1. Перенесём все члены на одну сторону уравнения:

[ x^2 + 2x + 1 - 5x + 1 = 0 ]

1. Упростим уравнение:

[ x^2 - 3x + 2 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 - 3x + 2 = 0). Это уравнение можно разложить на множители:

[ (x - 1)(x - 2) = 0 ]

Решаем уравнение:

• (x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1)
• (x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2)

Получаем два возможных решения: (x = 1) и (x = 2).

Теперь проверим оба решения на допустимость в исходном уравнении:

1. Для (x = 1):

   [ \frac{1}{2} \log_3 (5(1) - 1) - \log_3 (1 + 1) = \frac{1}{2} \log_3 4 - \log_3 2 ]

   [ = \frac{1}{2} \times 2 \log_3 2 - \log_3 2 = \log_3 2 - \log_3 2 = 0 ]

   Это решение удовлетворяет уравнению.

2. Для (x = 2):

   [ \frac{1}{2} \log_3 (5(2) - 1) - \log_3 (2 + 1) = \frac{1}{2} \log_3 9 - \log_3 3 ]

   [ = \frac{1}{2} \times 2 \log_3 3 - \log_3 3 = \log_3 3 - \log_3 3 = 0 ]

   Это решение также удовлетворяет уравнению.

Таким образом, оба решения (x = 1) и (x = 2) являются корректными.

Для решения данного уравнения необходимо применить свойства логарифмов. Сначала преобразуем уравнение:

1/2 log3 (5x-1) - log3 (x+1) = 0

Применим свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b):

log3 √(5x-1) - log3 (x+1) = 0

Теперь используем свойство логарифмов log(a) - log(b) = log(a/b) и log(a) = b => a = 3^b:

√(5x-1)/(x+1) = 1

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

5x-1 = (x+1)^2

5x-1 = x^2 + 2x + 1

x^2 - 3x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = (-3)^2 - 41(-2) = 9 + 8 = 17

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

x1 = (3 + √17)/2

x2 = (3 - √17)/2

Таким образом, корни уравнения 1/2 log3 (5x-1) - log3 (x+1) = 0 равны x1 = (3 + √17)/2 и x2 = (3 - √17)/2.

1/2 log3 (5x-1) - log3 (x+1) = 0 log3 √(5x-1) - log3 (x+1) = 0 log3 (√(5x-1)/(x+1)) = 0 √(5x-1)/(x+1) = 1 √(5x-1) = x+1 5x-1 = (x+1)^2 5x-1 = x^2 + 2x + 1 x^2 - 3x - 2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x = 2 or x = -1

Ответ: x = 2 или x = -1