10cos^(2)x+3*cosx=1
10cos^(2)x+3*cosx=1
Решим уравнение (10\cos^2{x} + 3\cos{x} = 1).
Сначала введем замену: пусть (y = \cos{x}). Тогда уравнение принимает вид:
[10y^2 + 3y - 1 = 0.]
Это квадратное уравнение относительно (y). Решим его с помощью формулы квадратного уравнения:
[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]
где (a = 10), (b = 3), (c = -1).
Подставляем значения:
[y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1)}}{2 \cdot 10}.]
[y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{20}.]
[y = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{20}.]
[y = \frac{-3 \pm 7}{20}.]
Теперь находим корни:
Первый корень: (y_1 = \frac{-3 + 7}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}.)
Второй корень: (y_2 = \frac{-3 - 7}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}.)
Теперь вернемся к переменной (x):
Рассмотрим каждое уравнение отдельно.
(\cos{x} = \frac{1}{5}):
Основное решение: (x = \arccos{\frac{1}{5}}).
Общий вид решения: (x = 2\pi k \pm \arccos{\frac{1}{5}}), где (k \in \mathbb{Z}).
(\cos{x} = -\frac{1}{2}):
Основное решение: (x = \frac{2\pi}{3}) и (x = \frac{4\pi}{3}).
Общий вид решений:
где (k \in \mathbb{Z}).
Таким образом, общее решение исходного уравнения включает в себя все найденные решения:
где (k \in \mathbb{Z}).
Для решения данного уравнения необходимо представить квадрат косинуса в виде (1 - sin^2(x)), чтобы свести его к квадратному уравнению относительно sin(x).
Получаем уравнение: 10(1 - sin^2(x)) + 3(1 - 2sin^2(x)) = 1
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 10 - 10sin^2(x) + 3 - 6sin^2(x) = 1
Сводим подобные слагаемые: -16sin^2(x) + 13 = 1
Переносим все слагаемые в одну сторону: -16sin^2(x) = -12
Делим на -16: sin^2(x) = 3/4
Извлекаем корни: sin(x) = ±√(3/4)
Таким образом, sin(x) может быть равен ±√(3)/2.
10cos^2(x) + 3cos(x) = 1 cos(x) = 1/5, -1/2
