1) Упростите, применив формулы сокращённого умножения: а) $m-n^1/2$^2 + $m+n^1/2$^2; б) $m^1/3+2n^1/2$^2...

1) а) $m-n^1/2$^2 + $m+n^1/2$^2 = m^2 - 2mn^1/2 + n + m^2 + 2mn^1/2 + n = 2m^2 + 2n;

б) $m^1/3+2n^1/2$^2 - $m^1/3-2n^1/2$^2 = m^2/3 + 4mn^1/2 + 4n - $m^2/3-4m{n}^1/2+4n$ = 8mn^1/2;

в) $m^1/4-n^1/2$*$m^1/4+n^1/2$ = m^1/2 - n;

г) $m^1/2+n$(m-m^1/2 n+n^2) = m^3/2 + mn - m^1/2n - n^2.

2) а) $7^1/2-3^1/2$^2 + $7^1/2+3^1/2$^2 = 4 + 16 = 20;

б) $(3^1/4+{27}^1/4$^2 -12) $(3^1/4-{27}^1/4$^2 +12) = $3^1/2$^2 $3^1/2$^2 = 9 * 9 = 81.

3) а) $x-y$ / $x^1/2-y^1/2$ = $x-y$ / $x^1/2-y^1/2$ * $x^1/2+y^1/2$ / $x^1/2+y^1/2$ = x^3/2 + y^3/2;

б) $x^3/2+y^3/2$ / (x-x^1/2 y^1/2 +y) = $x^3/2+y^3/2$ / (x-x^1/2 y^1/2 +y) * $x^1/2+y^1/2$ / $x^1/2+y^1/2$ = x^2 + xy + y^2.

1) Упростите, применив формулы сокращённого умножения:

а) $(m-n^{1/2}$^2 + $m+n^{1/2}$^2)

Используем формулу $a^2+b^2=(a+b$^2 - 2ab), где $a=m-n^{1/2}$ и $b=m+n^{1/2}$.

$(m-n^{1/2}{)}^2+(m+n^{1/2}{)}^2=[(m-n^{1/2})+(m+n^{1/2})$^2 - 2$m-n^{1/2}$$m+n^{1/2}$ ] $=(2m{)}^2-2(m^2-(n^{1/2}{)}^2)=4m^2-2m^2+2n=2m^2+2n$

б) $(m^{1/3}+2n^{1/2}$^2 - $m^{1/3}-2n^{1/2}$^2)

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a+b$$a-b$), где $a=m^{1/3}+2n^{1/2}$ и $b=m^{1/3}-2n^{1/2}$.

$(m^{1/3}+2n^{1/2}{)}^2-(m^{1/3}-2n^{1/2}{)}^2=[(m^{1/3}+2n^{1/2})+(m^{1/3}-2n^{1/2})$$(m^{1/3}+2n^{1/2})-(m^{1/3}-2n^{1/2})$ ] $=(2m^{1/3})(4n^{1/2})=8m^{1/3}{n}^{1/2}$

в) $(m^{1/4}-n^{1/2}$$m^{1/4}+n^{1/2}$)

Это стандартная формула разности квадратов $a^2-b^2$, где $a=m^{1/4}$ и $b=n^{1/2}$.

$(m^{1/4}-n^{1/2})(m^{1/4}+n^{1/2})=(m^{1/4}{)}^2-(n^{1/2}{)}^2=m^{1/2}-n$

г) $(m^{1/2}+n$$m-m^{1/2}\cdot n+n^2$)

Раскроем скобки и упростим:

$(m^{1/2}+n)(m-m^{1/2}\cdot n+n^2)=m^{1/2}\cdot m+m^{1/2}\cdot (-m^{1/2}\cdot n)+m^{1/2}\cdot n^2+n\cdot m-n\cdot m^{1/2}\cdot n+n\cdot n^2$ $=m^{3/2}-m+m^{1/2}{n}^2+nm-n^2+n^3$

2) Вычислите:

а) $(7^{1/2}-3^{1/2}$^2 + $7^{1/2}+3^{1/2}$^2) используя решение из п.1а:

$(7^{1/2}-3^{1/2}{)}^2+(7^{1/2}+3^{1/2}{)}^2=2\cdot 7+2\cdot 3=14+6=20$

б) $((3^{1/4}+{27}^{1/4}$^2 -12) * $(3^{1/4}-{27}^{1/4}$^2 +12))

Для упрощения, обозначим $a=3^{1/4}$, $b={27}^{1/4}=3^{3/4}$, тогда:

[ $(a+b$^2 -12) $(a-b$^2 +12) = $a^2+2ab+b^2-12$ $a^2-2ab+b^2+12$ ] [ = $3+2\cdot 3+9-12$ $3-2\cdot 3+9+12$ = $12$ $21$ = 252 ]

3) Сократите дробь:

а) $(x-y$ / $x^{1/2}-y^{1/2}$)

Обозначим $a=x^{1/2}$ и $b=y^{1/2}$, тогда:

$\frac{x-y}{x^{1/2}-y^{1/2}}=\frac{a^2-b^2}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b=x^{1/2}+y^{1/2}$

б) $(x^{3/2}+y^{3/2}$ / $x-x^{1/2}\cdot y^{1/2}+y$)

Обозначим $a=x^{1/2}$ и $b=y^{1/2}$, тогда:

$\frac{x^{3/2}+y^{3/2}}{x-x^{1/2}\cdot y^{1/2}+y}=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}$ $=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}=a+b=x^{1/2}+y^{1/2}$

1) а) 2m^2 + 2n б) 4m^2 + 4n в) m^$1/2$ г) m + n

2) а) 14 б) -3

3) а) x^$1/2$ + y^$1/2$ б) x^$1/2$ - y^$1/2$