1. Сколькими способами из числа 15 учащихся класса можно выбрать культорга и казначея. 2. Сколько различных...

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди:

1. Сколькими способами из числа 15 учащихся класса можно выбрать культорга и казначея?

   Для выбора культорга и казначея порядок имеет значение, так как это разные должности. Первым выбирается культорг, а затем казначей, из оставшихся.

   • Сначала выбираем культорга: у нас есть 15 вариантов.
   • Затем выбираем казначея: остается 14 вариантов.

   Таким образом, количество способов выбрать культорга и казначея: [ 15 \times 14 = 210 ]

2. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 таким образом, чтобы все цифры в числах были различны?

   Мы должны выбрать 6 цифр из 6 возможных, и порядок важен, так как это число.

   • Для первой цифры у нас 6 вариантов.
   • Для второй цифры остается 5 вариантов.
   • Для третьей цифры — 4 варианта и так далее.

   Количество способов выбрать все 6 цифр: [ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 ]

3. Записать разложение бинома ((2 - x)^5).

   Для разложения бинома воспользуемся формулой бинома Ньютона: [ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k ]

   В нашем случае (a = 2), (b = -x), и (n = 5): [ (2 - x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} 2^{5-k} (-x)^k ]

   Разложим:

   • (k = 0): (\binom{5}{0} 2^5 (-x)^0 = 1 \cdot 32 \cdot 1 = 32)
   • (k = 1): (\binom{5}{1} 2^4 (-x)^1 = 5 \cdot 16 \cdot (-x) = -80x)
   • (k = 2): (\binom{5}{2} 2^3 (-x)^2 = 10 \cdot 8 \cdot x^2 = 80x^2)
   • (k = 3): (\binom{5}{3} 2^2 (-x)^3 = 10 \cdot 4 \cdot (-x^3) = -40x^3)
   • (k = 4): (\binom{5}{4} 2^1 (-x)^4 = 5 \cdot 2 \cdot x^4 = 10x^4)
   • (k = 5): (\binom{5}{5} 2^0 (-x)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-x^5) = -x^5)

   Суммируя все эти термины, получаем: [ (2 - x)^5 = 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5 ]

4. Сколько существует различных кодов, состоящих из двузначного числа, цифры которого выбираются из цифр 1, 2, 3, и следующего за ним трехбуквенного слова, буквы которого выбираются из гласных букв русского алфавита? (Цифры и буквы в коде могут повторяться)

   • Двузначное число, цифры которого выбираются из 1, 2, 3:

     • Для первой цифры есть 3 варианта.
     • Для второй цифры также 3 варианта.

     Общее количество двузначных чисел: [ 3 \times 3 = 9 ]

   • Трехбуквенное слово, буквы которого выбираются из гласных букв русского алфавита (а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я — всего 10 гласных):

     • Для первой буквы есть 10 вариантов.
     • Для второй буквы тоже 10 вариантов.
     • Для третьей буквы также 10 вариантов.

     Общее количество трехбуквенных слов: [ 10 \times 10 \times 10 = 1000 ]

   • Общее количество различных кодов: [ 9 \times 1000 = 9000 ]

Таким образом, ответы на вопросы:

1. 210 способов.
2. 720 шестизначных чисел.
3. ((2 - x)^5 = 32 - 80x + 80x^2 - 40x^3 + 10x^4 - x^5).
4. 9000 различных кодов.

1. Для выбора культорга и казначея из 15 учащихся класса можно воспользоваться принципом умножения. Первого человека можно выбрать 15 способами, а второго - 14 способами (поскольку он не может быть выбран тем же способом). Таким образом, общее количество способов выбрать культорга и казначея равно 15*14 = 210.

2. Для составления шестизначных чисел с различными цифрами из множества {2,3,4,5,6,7} можно воспользоваться формулой для размещений без повторений. Для первой цифры есть 6 вариантов, для второй - 5 вариантов и так далее. Таким образом, общее количество различных шестизначных чисел равно 65432*1 = 720.

3. Разложение бинома (2-х)^5 можно найти с помощью формулы бинома Ньютона: (a-b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + . + C(n,n)a^0b^n. В данном случае a = 2, b = -x, n = 5. Подставив значения, мы получим (2-x)^5 = C(5,0)2^5(-x)^0 + C(5,1)2^4(-x)^1 + C(5,2)2^3(-x)^2 + C(5,3)2^2(-x)^3 + C(5,4)2^1(-x)^4 + C(5,5)2^0(-x)^5.

4. Для составления двузначного числа из цифр 1,2,3 есть 3 варианта. Для трехбуквенного слова из гласных букв русского алфавита есть 6 вариантов (а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я). Таким образом, общее количество различных кодов равно 3*6 = 18.