1. С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x)=-x³+4x²-4x 2. Исследуйте...

1. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x)=-x³+4x²-4x необходимо найти производную данной функции: f'(x)=-3x²+8x-4. Затем найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: -3x²+8x-4=0. Решив это уравнение, получим x=1. Подставим найденную точку во вторую производную f''(x)=-6x+8. При x=1, f''(1)=2, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке x=1. Таким образом, функция убывает на интервале (-∞;1) и возрастает на интервале (1;+∞).

2. Для исследования функции f(x)=2x²+x-3 найдем производные: f'(x)=4x+1 и f''(x)=4. Теперь найдем точки экстремума, приравняв первую производную к нулю: 4x+1=0. Решив это уравнение, получим x=-1/4. Подставим найденную точку во вторую производную: f''(-1/4)=4, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке x=-1/4. Также найдем точки перегиба функции, приравняв вторую производную к нулю: 4=0, что невозможно. Таким образом, функция имеет локальный минимум в точке x=-1/4.

3. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=x⁴-8x²+5 на отрезке [-3;2] найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 4x³-16x=0. Решив это уравнение, найдем x=0 и x=2. Теперь найдем значения функции в найденных точках и на концах отрезка: f(-3)=74, f(0)=5, f(2)=-7. Таким образом, наибольшее значение функции равно 74, достигается в точке x=-3, а наименьшее значение равно -7, достигается в точке x=2.

1. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x)=-x³+4x²-4x, найдем производную данной функции: f'(x)=-3x²+8x-4. Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: -3x²+8x-4=0. Решив это уравнение, найдем x=1 и x=4/3. Таким образом, промежутки возрастания функции -x³+4x²-4x будут (-бесконечность; 1) и (4/3; +бесконечность), а промежутки убывания (1; 4/3).

2. Чтобы исследовать функцию f(x)=2x²+x-3, найдем ее производную: f'(x)=4x+1. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x+1=0, x=-1/4. Теперь найдем вторую производную: f''(x)=4. Так как f''(x)>0 для всех x, то точка x=-1/4 является точкой минимума. Также найдем значение функции в этой точке: f(-1/4)=2*(-1/4)²+(-1/4)-3=-25/8. Таким образом, точка минимума функции f(x)=2x²+x-3 равна (-1/4;-25/8).

3. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=x⁴-8x²+5 на отрезке [-3;2], найдем производную: f'(x)=4x³-16x. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x(x²-4)=0, x=0, x=-2, x=2. Теперь найдем значения функции в точках экстремума и на концах отрезка: f(-3)=(-3)⁴-8(-3)²+5=61, f(0)=5, f(2)=2⁴-8*2²+5=-11. Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-3;2] равно 61, а наименьшее значение равно -11.

Конечно! Давайте разберём каждое из заданий по очереди.

1. Промежутки возрастания и убывания функции f(x) = -x³ + 4x² - 4x

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо вычислить её производную и определить, где она положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

1. Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 4x^2 - 4x) = -3x^2 + 8x - 4 ]

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: [ -3x^2 + 8x - 4 = 0 ] Решим это квадратное уравнение методом дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 - 48 = 16 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 4}{-6} ] [ x_1 = \frac{-8 + 4}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-8 - 4}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2 ]

3. Разобьём числовую прямую на интервалы и определим знак производной на каждом из них:

   • Интервалы: ((-∞, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, 2), (2, ∞))

   Проверим знак производной в каждом интервале:

   • Для (x \in (-∞, \frac{2}{3})), например (x = 0): [ f'(0) = -3(0)^2 + 8(0) - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) ]
   • Для (x \in (\frac{2}{3}, 2)), например (x = 1): [ f'(1) = -3(1)^2 + 8(1) - 4 = 1 \quad (\text{положительно}) ]
   • Для (x \in (2, ∞)), например (x = 3): [ f'(3) = -3(3)^2 + 8(3) - 4 = -11 \quad (\text{отрицательно}) ]

Таким образом, функция убывает на ((-∞, \frac{2}{3})), возрастает на ((\frac{2}{3}, 2)) и снова убывает на ((2, ∞)).

2. Исследование функции и построение её графика: f(x) = 2x² + x - 3

1. Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + x - 3) = 4x + 1 ]

2. Найдём критические точки: [ 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4} ]

3. Определим знаки производной на интервалах:

   • Интервалы: ((-∞, -\frac{1}{4}), (-\frac{1}{4}, ∞))

   Проверим знак производной:

   • Для (x \in (-∞, -\frac{1}{4})), например (x = -1): [ f'(-1) = 4(-1) + 1 = -3 \quad (\text{отрицательно}) ]
   • Для (x \in (-\frac{1}{4}, ∞)), например (x = 0): [ f'(0) = 4(0) + 1 = 1 \quad (\text{положительно}) ]

Функция убывает на ((-∞, -\frac{1}{4})) и возрастает на ((-\frac{1}{4}, ∞)). Критическая точка (x = -\frac{1}{4}) является точкой минимума.

1. Найдём значение функции в этой точке: [ f\left(-\frac{1}{4}\right) = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) - 3 = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 3 = -\frac{25}{8} ]

Теперь у нас есть точка минимума ((-1/4, -25/8)).

1. Построим график функции. Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, она пересекает ось (y) в точке ((0, -3)) и имеет вершину в точке ((-1/4, -25/8)).

3. Наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁴ - 8x² + 5 на отрезке [-3; 2]

1. Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2 + 5) = 4x^3 - 16x ]

2. Найдём критические точки: [ 4x^3 - 16x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 4) = 0 ] [ x(x - 2)(x + 2) = 0 ] [ x = 0, x = 2, x = -2 ]

3. Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • (f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14)
   • (f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11)
   • (f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 5 = 5)
   • (f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11)

Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение функции на отрезке ([-3; 2]) равно (14), а наименьшее равно (-11).

Надеюсь, это поможет вам в решении данных задач!