1) Приведите пример двух иррациональных чисел , произведение которых число иррациональное. 2) Докажите что если числа a , b , √a+√b рациональные , то числа √a и √b также рациональные. 3)Сравните числа а и b а) а = √53+√31, b=√51+√33 б)a= 1 / 5+2√7 + 1 / 5-2√7 , b= -√11 1/3
1) Пример иррациональных чисел, произведение которых также иррациональное: √2 и -√2. 2) Пусть √a и √b рациональные. Тогда √a + √b также рациональное, так как сумма рациональных чисел всегда дает рациональное число. 3) а) a > b, так как √53 > √51 и √31 > √33. б) a < b, так как √7 > -√11 1/3.
1) Пример двух иррациональных чисел, произведение которых число иррациональное, можно привести следующим образом: √2 и √3. Оба числа являются иррациональными, и их произведение равно √6, которое также является иррациональным числом.
2) Предположим, что числа a, b и √a+√b рациональные. Тогда √a и √b можно представить как √a = x/y и √b = z/w, где x, y, z и w - целые числа. Тогда √a+√b = x/y + z/w = (xw + zy) / yw. Поскольку √a+√b рациональное число, то (xw + zy) / yw также равно рациональному числу. Однако, этот результат противоречит тому, что √a и √b могут быть рациональными числами. Следовательно, √a и √b должны быть иррациональными.
3) Сравним числа а и b: а) а = √53+√31, b = √51+√33. Для сравнения чисел а и b можно вычислить их числовые значения. После вычислений можно установить, какое из чисел больше или меньше. б) а = 1 / 5+2√7 + 1 / 5-2√7, b = -√11 1/3. Для сравнения этих чисел можно привести их к общему знаменателю и сравнить их числовые значения. После вычислений можно определить, какое число больше или меньше.
Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.
Давайте рассмотрим числа (\sqrt{2}) и (\sqrt{3}). Оба этих числа являются иррациональными, так как корень из любого простого числа является иррациональным. Теперь посчитаем их произведение:
[ \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} ]
Число (\sqrt{6}) также иррационально, потому что 6 не является полным квадратом, и, следовательно, его корень не может быть выражен в виде дроби.
Предположим, что (\sqrt{a} + \sqrt{b}) рационально и равно некоторому числу (r).
Также предположим, что (\sqrt{a}) и (\sqrt{b}) — иррациональные числа. Тогда их сумма, согласно свойству суммы иррациональных чисел, также должна быть иррациональной, что противоречит нашему предположению.
Если (\sqrt{a}) и (\sqrt{b}) являются иррациональными, тогда (r = \sqrt{a} + \sqrt{b}) также должно быть иррациональным, что противоречит условию. Следовательно, оба числа (\sqrt{a}) и (\sqrt{b}) должны быть рациональными.
Чтобы сравнить (a) и (b), мы можем оценить каждое из чисел:
Теперь сложим:
[ a \approx 7.28 + 5.57 = 12.85 ] [ b \approx 7.14 + 5.74 = 12.88 ]
Таким образом, (b) немного больше, чем (a).
Для упрощения выражения (a), воспользуемся методом рационализации знаменателя:
[ a = \frac{1}{5+2\sqrt{7}} + \frac{1}{5-2\sqrt{7}} = \frac{5-2\sqrt{7} + 5+2\sqrt{7}}{(5+2\sqrt{7})(5-2\sqrt{7})} ]
Числитель упрощается до (10), а знаменатель равен:
[ (5+2\sqrt{7})(5-2\sqrt{7}) = 25 - (2\sqrt{7})^2 = 25 - 28 = -3 ]
Таким образом, (a = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3} \approx -3.33).
Теперь сравним с (b = -\sqrt{11} \approx -3.32).
Таким образом, (a) меньше, чем (b).
