1. Найдите значения выражения (a^1/2*a^1/3)^6 при а=(1/3)^2/5 2. Вычеслите 3^1/2*9^3/4 / 2^2/3*4^2/3

Конечно, давайте разберем оба вопроса по порядку.

Вопрос 1:

Найдите значения выражения ((a^{1/2} \cdot a^{1/3})^6) при (a = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}).

Шаг 1: Упрощение внутреннего выражения

Используем свойства степеней для упрощения выражения (a^{1/2} \cdot a^{1/3}): [a^{1/2} \cdot a^{1/3} = a^{1/2 + 1/3}]

Для сложения дробей находим общий знаменатель: [\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}] Таким образом: [a^{1/2} \cdot a^{1/3} = a^{5/6}]

Шаг 2: Возведение в степень 6

Теперь возведем полученное выражение в степень 6: [(a^{5/6})^6 = a^{5/6 \cdot 6} = a^5]

Шаг 3: Подстановка значения a

Подставим значение (a = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}): [a^5 = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}\right)^5]

Используем свойство степеней: [\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}\right)^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/5 \cdot 5} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}]

Таким образом, значение выражения ((a^{1/2} \cdot a^{1/3})^6) при (a = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/5}) равно (\frac{1}{9}).

Вопрос 2:

Вычислите (\frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}}).

Шаг 1: Упрощение базовых степеней

Запишем 9 и 4 в виде степеней базовых чисел: [9 = 3^2] [4 = 2^2]

Таким образом, выражение становится: [\frac{3^{1/2} \cdot (3^2)^{3/4}}{2^{2/3} \cdot (2^2)^{2/3}}]

Шаг 2: Преобразование степеней

Используем свойства степеней для преобразования: [(3^2)^{3/4} = 3^{2 \cdot 3/4} = 3^{3/2}] [(2^2)^{2/3} = 2^{2 \cdot 2/3} = 2^{4/3}]

Теперь выражение выглядит так: [\frac{3^{1/2} \cdot 3^{3/2}}{2^{2/3} \cdot 2^{4/3}}]

Шаг 3: Сложение степеней

Сложим степени для одинаковых оснований: [3^{1/2 + 3/2} = 3^2] [2^{2/3 + 4/3} = 2^2]

Теперь выражение становится: [\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}]

Таким образом, значение выражения (\frac{3^{1/2} \cdot 9^{3/4}}{2^{2/3} \cdot 4^{2/3}}) равно (\frac{9}{4}).

1. Воспользуемся свойствами степеней: (a^1/2 a^1/3)^6 = a^(1/2 6) a^(1/3 6) = a^3 * a^2 = a^5

Подставляя значение a=(1/3)^(2/5) получим: (1/3)^(2/10) = 1/3^1/5 = 1/√3

Ответ: 1/√3^5

1. Раскроем все степени: 3^1/2 9^3/4 / 2^2/3 4^2/3 = √3 3^(3/4) / 2^(2/3) 2^(2/3) = √3 * 3^(3/4) / 2

Заменим 9 на 3^2: √3 3^(3/4) / 2 = √3 3^(2/4) 3^(1/4) / 2 = √3 3^(1/2) 3^(1/4) / 2 = 3/2 √3 = 3√3 / 2

Ответ: 3√3 / 2

1. (a^1/2*a^1/3)^6 = a^(1/2+1/3)^6 = a^(5/6)^6 = a^5 Подставляем a=(1/3)^(2/5): (1/3)^(2/5)^5 = (1/3)^2 = 1/9

2. 3^1/29^3/4 / 2^2/34^2/3 = 3^(1/2)3^(3/2) / 2^(2/3)2^(2/3) = 3^(1/2+3/2) / 2^(2/3+2/3) = 3^2 / 2^2 = 9 / 4 = 2.25