1. Из одного города в другой выехали одновременно двое байкеров. Первый проехал весь путь с постоянной...

Давайте обозначим скорость первого байкера как ( v ) км/ч. Путь от одного города до другого обозначим как ( S ) км. Поскольку второй байкер проехал первую половину пути со скоростью 80 км/ч, а вторую половину пути со скоростью на 24 км/ч больше, чем скорость первого байкера, то его скорость на второй половине пути будет ( v + 24 ) км/ч.

Поскольку путь делится на две половины, каждая половина будет равна ( \frac{S}{2} ).

Время в пути первого байкера:

Первый байкер проехал весь путь с постоянной скоростью ( v ): [ t_1 = \frac{S}{v} ]

Время в пути второго байкера:

Время, затраченное вторым байкером на первую половину пути: [ t_{21} = \frac{\frac{S}{2}}{80} = \frac{S}{160} ] Время, затраченное вторым байкером на вторую половину пути: [ t{2_2} = \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} ] Общее время второго байкера: [ t2 = t{21} + t{2_2} = \frac{S}{160} + \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} ]

Условие равенства времен:

Так как оба байкера прибыли в другой город одновременно, мы можем приравнять их времена: [ \frac{S}{v} = \frac{S}{160} + \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} ]

Упрощение уравнения:

Упростим уравнение, разделив обе части на ( S ) (предполагаем, что ( S \neq 0 )): [ \frac{1}{v} = \frac{1}{160} + \frac{1}{2(v + 24)} ]

Теперь умножим все на ( 160v(v + 24) ), чтобы избавиться от дробей: [ 160(v + 24) = 160v + 80v(v + 24) ] Раскроем скобки: [ 160v + 3840 = 160v + 80v^2 + 1920v ]

Теперь уберем ( 160v ) с обеих сторон: [ 3840 = 80v^2 + 1920v ]

Приведение уравнения к стандартному виду:

Перепишем уравнение: [ 80v^2 + 1920v - 3840 = 0 ]

Делим на 80:

[ v^2 + 24v - 48 = 0 ]

Решение квадратного уравнения:

Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 576 + 192 = 768 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{768}}{2} ] [ \sqrt{768} = 16\sqrt{3} ] Подставляем: [ v = \frac{-24 \pm 16\sqrt{3}}{2} = -12 \pm 8\sqrt{3} ]

Положительное значение скорости:

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем: [ v = -12 + 8\sqrt{3} ]

Теперь вычислим ( v ): Приблизительно, ( \sqrt{3} \approx 1.732 ): [ v \approx -12 + 8 \cdot 1.732 \approx -12 + 13.856 \approx 1.856 \text{ км/ч} ]

Скорость первого байкера составляет примерно ( 1.856 \text{ км/ч} ).

Ответ:

Скорость первого байкера составляет ( -12 + 8\sqrt{3} ) км/ч, что примерно равно ( 1.856 ) км/ч.

Задача сводится к нахождению скорости первого байкера, чтобы оба байкера прибыли в пункт назначения одновременно. Давайте разберем задачу подробно.

Обозначения

1. Пусть расстояние между городами составляет ( S ) км.
2. Скорость первого байкера обозначим через ( v ) км/ч.
3. Скорость второго байкера на первой половине пути равна 80 км/ч.
4. Скорость второго байкера на второй половине пути на 24 км/ч больше, чем скорость первого байкера, то есть ( v + 24 ) км/ч.

Байкеры прибывают одновременно, а это значит, что время, затраченное каждым, одинаково.

Время движения первого байкера

Первый байкер проехал весь путь с постоянной скоростью ( v ). Время, затраченное им на весь путь: [ t_1 = \frac{S}{v}. ]

Время движения второго байкера

Второй байкер делит путь на две равные части: первую половину пути он проезжает со скоростью 80 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью ( v + 24 ).

Длина каждой половины пути равна ( \frac{S}{2} ).

Время, затраченное вторым байкером на первую половину пути: [ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{80} = \frac{S}{160}. ]

Время, затраченное вторым байкером на вторую половину пути: [ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} = \frac{S}{2(v + 24)}. ]

Общее время движения второго байкера: [ t2 = t{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{160} + \frac{S}{2(v + 24)}. ]

Условие равенства времени

Поскольку оба байкера прибыли одновременно, их времена равны: [ t_1 = t_2. ]

Подставляем выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{S}{v} = \frac{S}{160} + \frac{S}{2(v + 24)}. ]

Упрощение уравнения

Сократим на ( S ) (предполагается, что ( S > 0 )): [ \frac{1}{v} = \frac{1}{160} + \frac{1}{2(v + 24)}. ]

Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех дробей — ( 160v(v + 24) ). Умножим обе части уравнения на этот знаменатель: [ 160(v + 24) = v(v + 24) + 80v. ]

Раскроем скобки: [ 160v + 3840 = v^2 + 24v + 80v. ]

Соберем все в одну сторону: [ v^2 + 24v + 80v - 160v - 3840 = 0. ]

Упростим: [ v^2 - 56v - 3840 = 0. ]

Решение квадратного уравнения

Имеем квадратное уравнение: [ v^2 - 56v - 3840 = 0. ]

Решим его по формуле корней квадратного уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = -56 ), ( c = -3840 ).

Подставляем значения: [ v = \frac{-(-56) \pm \sqrt{(-56)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3840)}}{2 \cdot 1}. ]

Вычислим дискриминант: [ \Delta = (-56)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3840) = 3136 + 15360 = 18496. ]

Корень из дискриминанта: [ \sqrt{18496} = 136. ]

Найдем корни: [ v = \frac{56 \pm 136}{2}. ]

1. ( v_1 = \frac{56 + 136}{2} = \frac{192}{2} = 96 ).
2. ( v_2 = \frac{56 - 136}{2} = \frac{-80}{2} = -40 ) (отрицательный корень не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ

Скорость первого байкера равна: [ v = 96 \, \text{км/ч}. ]