1. Даны точки М(3;-2;1) и N(5;2;-3). Найдите координаты середина отрезка МN и его длину. 2. Даны точки...

1. Найдем координаты середины отрезка MN. Для этого нужно найти среднее арифметическое значений координат точек M и N по каждому измерению: x = (3 + 5) / 2 = 4 y = (-2 + 2) / 2 = 0 z = (1 + (-3)) / 2 = -1 Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (4; 0; -1).

Для нахождения длины отрезка MN воспользуемся формулой длины вектора: |MN| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) где (x1; y1; z1) - координаты точки M, (x2; y2; z2) - координаты точки N.

|MN| = √((5 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2) = √(2^2 + 4^2 + (-4)^2) = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6 Таким образом, длина отрезка MN равна 6.

1. а) Координаты вектора → АВ = (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) = (3 - (-2); (-2) - 1; 1 - 3) = (5; -3; -2) Координаты вектора → АС = (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) = (-3 - (-2); 4 - 1; 2 - 3) = (-1; 3; -1)

   б) Координаты вектора → АВ = (5; -3; -2)

   в) Для нахождения вектора → MN по формуле MN = 2AB - 3AC подставим значения координат векторов AB и AC: → MN = 2(5; -3; -2) - 3(-1; 3; -1) = (10; -6; -4) - (-3; 9; -3) = (10 + 3; -6 - 9; -4 + 3) = (13; -15; -1) Таким образом, координаты вектора → MN равны (13; -15; -1).

Давайте пошагово решим вашу задачу.

Часть 1: Точки M(3;-2;1) и N(5;2;-3)

1. Координаты середины отрезка MN Середина отрезка определяется как среднее арифметическое соответствующих координат двух точек: [ (x{\text{ср}}, y{\text{ср}}, z_{\text{ср}}) = \left(\frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}, \frac{z_M + zN}{2}\right) ] Подставляем координаты точек M и N: [ (x{\text{ср}}, y{\text{ср}}, z{\text{ср}}) = \left(\frac{3 + 5}{2}, \frac{-2 + 2}{2}, \frac{1 - 3}{2}\right) = (4, 0, -1) ]

2. Длина отрезка MN Длина отрезка вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2} ] Подставим координаты: [ d = \sqrt{(5 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 ]

Часть 2: Точки A(-2;1;3), B(3;-2;1) и C(-3;4;2)

1. Координаты векторов AB и AC [ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (3 - (-2), -2 - 1, 1 - 3) = (5, -3, -2) ] [ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (-3 - (-2), 4 - 1, 2 - 3) = (-1, 3, -1) ]

2. Координаты вектора MN = 2AB - 3AC [ \vec{MN} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC} = 2(5, -3, -2) - 3(-1, 3, -1) ] Вычисляем: [ \vec{MN} = (2 \cdot 5, 2 \cdot -3, 2 \cdot -2) - (3 \cdot -1, 3 \cdot 3, 3 \cdot -1) = (10, -6, -4) - (-3, 9, -3) ] [ \vec{MN} = (10 + 3, -6 - 9, -4 + 3) = (13, -15, -1) ]

Это дает вам полные ответы на ваши вопросы:

1. Середина отрезка MN: (4, 0, -1)
2. Длина отрезка MN: 6
3. Координаты вектора AB: (5, -3, -2)
4. Координаты вектора AC: (-1, 3, -1)
5. Координаты вектора MN: (13, -15, -1)

Удачи на контрольной!